Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 01. 2010 22:05

Matik
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Diofantické rovnice

s temito rovnicemi si nevim rady:
1/x+1/y= 1/14  resenim prirozena cisla
x^2+x+1= 3y^2  resenim opet prirozena cisla
x^2-3y^2= 1 aspon dve celociselna reseni

dekuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Matik)

#2 05. 01. 2010 23:16

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Diofantické rovnice

1) Vynásobíme 14xy a upravíme
xy-14x-14y=0
Chceme rozložit na součin, proto přičteme 196:
(x-14)(y-14)=196
Dále využijeme jednoznačnost rozkladu: 196 lze rozložit jen konečně mnoha způsoby, každý odpovídá nějaké dvojici x,y

3) Pellova rovnice -- fundamentální řešení určíme uhodnutím, další z rekurentních vztahů. Pokud chtějí jen dvě, není těžké uhodnout fundamentální a různými kombinacemi znamének vygenerovat další: (2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1).

2) Vynásobíme 4:
4x^2+4x+4=12y^2
(2x+1)^2-12y^2=-3, substitucí 2x+1=t
t^2-12y^2=-3.
To je zobecněná Pellova rovnice.
Jedno řešení je (3,1). Fundamentální řešení rovnice t^2-12y^2=1 je (7,2). Proto další řešení dostaneme jako
$t_{n+1}=7t_n+24y_n\nl y_{n+1}=2t_n+7y_n$
Možné je také použít zápis jako Wolfram|Alpha.
Samozřejmě lze u t i y libovolně měnit znaménka.

Doporučuju něco přečíst o Pellově rovnici. lépe na mathworldu než na Wiki.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#3 07. 01. 2010 20:46

Matik
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Kondr:
ac na tim badam jak badam, netusim proc to fundementalni reseni a jak se dostanu primo k reseni,
dekuji

Offline

 

#4 07. 01. 2010 21:07

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Diofantické rovnice

↑ Matik:Fundamentální řešení je minimální, hledáme ho proto stylem: pro y=1? Nic. Pro y=2? Řešení!. A kdybychom měli zákeřnější rovnii, pokračovali bychom ve zkoušení. A jak se z fundamentálního řešení udělají všechna řešení, to je popsáno právě na tom MathWorldu
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson