Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 01. 2010 14:03

okurka
Příspěvky: 44
Reputace:   
 

Průběh funkce dvou proměných

Zdravím.
Mám rovnici f(x,y)=(x+sqrt(2-y^2))/(sqrt(2-y^2)) a mám určit diferenciální rovnici průmětu spádnic v rovině xy a která prochází bodem A[sqrt(2),0].

Po úpravách se dostanu na tvar: (x^2)/2=2ln y -(y^2)/2 +C
Když bych dosadil bod A pro výpočet C, dosazoval bych ln 0 a to se mi trochu příčí.

Mohl by se k tomu kdyžtak někdo vyjádřit ? :o)

Offline

 

#2 02. 07. 2010 15:06 — Editoval Rumburak (02. 07. 2010 17:05)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8652
Reputace:   498 
 

Re: Průběh funkce dvou proměných

Plocha je dána rovnicí  $z \,= \,\frac{x\, +\, \sqrt{2-y^2}}{\sqrt{2-y^2}}$  neboli  $z \,= \,f(x,y)\, :=\,\frac{x}{\sqrt{2-y^2}} \, +\, 1$ .

"Půdorys" p  té spádové křivky, která  prochází obecným bodem  [a, b, f(a,b)] , má v bodě  C := [a, b] tečný vektor
$\vec {u}\,=\,\(\frac{\partial f}{\partial x}(C),\,\frac{\partial f}{\partial y}(C) \)$ ,  tedy tečnu o parametrické rovnici  $X \,=\, C\,+\, t\vec{u}$, rozepsáno po souřadnicích
$x \,=\, a\,+\, t \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(C)$, $y\,=\, b\,+\, t \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(C)$ ,   po zderivování dle t obdržíme $x^\cdot \,=\, \frac{\partial f}{\partial x}(C)$ ,$y^\cdot\,=\,\frac{\partial f}{\partial y}(C)$.
Vynásobíme spolu tyto rovnice  (před tím ještě ve druhé rovnici vzájemně zaměníme její levou a pravou stranu) , čímž dostaneme
$\frac{\partial f}{\partial y}(C)\,x^\cdot \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}(C)\,y^\cdot $ .  Formálním vynásobením poslední rovnice diferenciálem  $\text{d} t$  obdržíme
$\frac{\partial f}{\partial y}(C)\,\text{d} x \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}(C)\,\text{d} y $ , což abstrakcí od bodu C dává diferenciální rovnici $\frac{\partial f}{\partial y}\,\text{d} x \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}\,\text{d} y $ .

Dosazením $\frac{\partial f}{\partial x}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2-y^2}}$ ,   $\frac{\partial f}{\partial y}\,=\,\frac{-xy}{(2-y^2)\sqrt{2-y^2}}$ dostaneme  $\frac{-xy}{(2-y^2)\sqrt{2-y^2}} \,\text{d} x \,=\,\frac{1}{\sqrt{2-y^2}}\,\text{d} y $ ,
což po vykrácení dává $\frac{-xy}{(2-y^2)} \,\text{d} x \,=\,\text{d} y $  resp.  $\frac{-xy}{(2-y^2)} \,=\,y' $,  počáteční podmínka bude $y(\sqrt{2}) = 0$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson