Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 02. 2011 19:53

Tomaskocz
Příspěvky: 54
Reputace:   
 

Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

3)Je dána kružnice x^2+y^2=a^2 a na ní bod A=[?,a]. Sestrojíme přímku "p" rovnoběžnou s tečnou ke kružnici v bodě A. Průsečíky přímky "p" a dané kružnice označíme "B" a "C". Pro kterou přímku "p"(napište její rovnici) bude obsah trojuhelníka ABC největší? Řešte úlohu jako extrém.

Zde jsem si nakreslil kružnici, dosadil jsem bod y-ovou složku do rovnice x^2+y^2=a^2 abych získal y-lonovou. Vyšel mi bod A=[0,+-a]. A teď nevím jak přijít na to, kde má přesně přímka "p" ležet přes kružnici jako tečna, aby trojuhelník ABC měl největší obsah. Obsah trj.=z*(v/2). A taky nevím, jak to myslí, že mám úlohu řešit jako extrém. Děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jelena)

#2 28. 02. 2011 20:57 — Editoval Cheop (28. 02. 2011 21:49)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Tomaskocz:
Obrázek napoví?
http://www.sdilej.eu/pics/9bc6519218ef640a0bbc257ebae90d9e.png


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#3 28. 02. 2011 21:05

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

OT: To je krásný obrázek :-) V čem je to kreslené?


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#4 28. 02. 2011 21:30

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ claudia:
V programu Geogebra


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#5 28. 02. 2011 21:44

Tomaskocz
Příspěvky: 54
Reputace:   
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

:-( Nenapověděl :/ Ale spočítal jsem si, že ten růžový. BTW: moc pěkný obrázek !! A teďka, jak přesně zjistím, kam sečnu posunou aby obsah byl největší? Koumáme nad tím se spolubydlou ale jsme tupí :-D

Offline

 

#6 28. 02. 2011 21:49 — Editoval claudia (28. 02. 2011 22:03)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Tomaskocz:

Zkus si vyjádřit obsah toho trojúhelníku v závislosti na jeho výšce. Hledej průsečíky kružnice s přímkou y=0x+b. Ze vzdálenosti těch průsečíků od sebe spočítáš délku základny. Výšku trojúhelníku budeš znát též, v=a-b. Ze základny a výšky vyjádři obsah (v závislosti na b nebo na v, dle vkusu) a pak vztah derivuj. Kde bude mít derivace nulový bod nebo nebude existovat, budeš hledat možný trojúhelník s maximálním obsahem.



Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#7 28. 02. 2011 21:51 — Editoval Cheop (28. 02. 2011 21:52)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Tomaskocz:
Ještě nápověda, který trojúhelník má při dané zakladně největší obsah?


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#8 28. 02. 2011 22:05

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Cheop napsal(a):

↑ Tomaskocz:
Ještě nápověda, který trojúhelník má při dané zakladně největší obsah?


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#9 28. 02. 2011 22:17 — Editoval Cheop (28. 02. 2011 22:30)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ claudia:
Tak jen taková úvaha:
Maximální délka základny - 2a = průměr kruhu
V tom případě výška = a
Obsah: 2a*a/2=a^2
Určitě existuje trojúhelník s větším obsahem.
Nebo ještě jinak:
Který rovnoramenný trojúhelník má největší obsah?
Při vědomí toho,že obsah rovnoramennéhp trojúhelníku s rameny x je:
$S=\frac{x^2\sin\,\alpha}{2}$ kde alfa je úhel, který svírají ramena


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#10 28. 02. 2011 23:01

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Cheop:
Asi jsou Tvé rady nad mé chápání.

My nemáme konstatntní ani délku základny ani délku ramen, ani úhel, který svírají ramena.

Z toho vztahu by mi vyšlo, že maximální obsah je pro $\alpha=\frac{\pi}{2},\,\sin\alpha=1$, ale to mi v této úloze též nijak nepomáhá.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#11 28. 02. 2011 23:09

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Ještě hint k tomu, jak si usnadnit derivování: druhá mocnina je na nezáporných číslech rostoucí, tudíž obsah bude mít extrémy právě tam, kde bude mít extrémy druhá mocnina obsahu. Vzhledem k (očekávané) přítomnosti odmocniny je rozumnější derivovat druhou mocninu obsahu.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#12 01. 03. 2011 07:10

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ claudia:
Ještě jinak:
Který rovnoramenný trojúhelník, kterému je opsána kružnice o známém poloměru
má největší obsah?


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#13 01. 03. 2011 07:42

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

No, to je předmětem oné úlohy. A dle mého výpočtu výše je to trojůhelník s výškou rovnou třem polovinám poloměru oné kružnice, s úhlem u bodu A zhruba 49°. Délka základny mi vychází 2sqrt(3) a délka odvěsen sqrt(21)a/2. Samozřejmě ten výpočet může být špatně, ale zatím nevidím důvod, proč by mělo intuitivně vycházet něco jiného.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#14 01. 03. 2011 08:37 — Editoval Cheop (14. 03. 2011 12:24)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ claudia:


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#15 01. 03. 2011 09:09

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Cheop:

Zdravím a děkuji za řešení.

Trošku problém je v tom, že se jedná o samostatnou práci na VUT Brno.

Tak si, prosím, zváž, jak k tomu přistoupit, aby samostatnost byla podpořena. Zadání dostanou tak, že parametry v zadání jsou podle nějakého klíče ve skupině. Tedy tak je to univerzální návod.

Děkuji. Omlouvám se.

Offline

 

#16 01. 03. 2011 09:11

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ claudia:
Délka základny je: $a\sqrt 3$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#17 01. 03. 2011 09:16

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ jelena:
Zdravím,
to já nevěděl. Mám tedy řešení smazat nebo alespoň skrýt?
Děkuji za odpověď


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#18 01. 03. 2011 09:44

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Cheop:

Děkuji.

Podle dobrě miněných rad pro odpovídající máme kolegu spíše vést k řešení. Tedy v případě standardních úloh se mi zdá vhodnější rozdělit si to na kroky a projit to s kolegou krokově (pokud bude mít zájem - zdá se, že zájem má).

Tak je třeba ho v tom podpořit (celé řešení přece můžeš mít někde u sebe uložené - tak? A případně ho jednou umístit na MatWiki - s obrázkem, který každý obdivuje :-). Děkuji.

Offline

 

#19 01. 03. 2011 16:13

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Cheop napsal(a):

↑ claudia:
Délka základny je: $a\sqrt 3$

Souhlasím, počítala jsem to při snídani a zjevně ne správně :-)


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#20 01. 03. 2011 17:25

Tomaskocz
Příspěvky: 54
Reputace:   
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Nechci se nějak moc ztrapnit, ale stále to nechápu :-D Ale nevadí, ještě si nad to sednu a případné dotazy položím, ale za ochotu jakou projevujete Vám posílám sms za 50kč :-) Asi to nejspíš, ale nejde Vám co mi pomáháte, ale na chod webu

Offline

 

#21 01. 03. 2011 17:56 — Editoval claudia (01. 03. 2011 17:56)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Ve skutečnosti, když to pošleš na chod webu, je to dárek pro nás všechny, co jej máme rádi :-) Pomocníkům můžeš poslat nejvýše reputaci, zdarma :-)

Příklad je tady dvakrát kompletně vyřešený, takže k tomu není z mé strany mnoho, co dodat. Pokud máš pochybnosti, jestli tomu rozumíš, můžeš sem napsat, jak to tedy chápeš ty (svými slovy) a my ti můžeme napsat, zda tak je to v pořádku.

Základní myšlenka je taková, že potřebuješ vyjádřit obsah toho trojúhelníku v závislosti na jedné proměnné ($a$ se za proměnnou pro tyto účely nepočítá, je to pouze parametr; můžeš dokonce nejprve řešit s předpokladem a=1). Vybrat si můžeš sám. Nabízí se y souřadnice přímky nebo výška trojúhelníku. Jakmile máš závislost na jedné proměnné, můžeš snadno za pomoci derivace najít, kdy je obsah maximální.

Navrhuji začít tím, že odvodíš ten vzorec pro obsah. Obsah je délka základny krát výška, z toho jedna polovina. Je tedy třeba odvodit výšku a délku základny v závislosti na tebou zvolené proměnné.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#22 01. 03. 2011 18:58

ghostm
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

Chcem sa spýtat z coho vznikla tato rovnica: $n=2\sqrt{a^2-m^2}$ ↑ Cheop:

Offline

 

#23 01. 03. 2011 19:05 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 19:06)

Dana1
Host
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ ghostm:

a  je polomer kružnice, potom Pytagorova veta pre  n/2,  m,  polomer (a)...   Trojuholník  stred úsečky n = BC, bod C, bod S

 

#24 01. 03. 2011 19:08 — Editoval claudia (01. 03. 2011 19:09)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

z rovnice pro přímku $y=-m$ a rovnice pro kružnici $y^2+x^2=a^2$ zkus si vyjádřit její řešení a spočítat jejich rozdíl (tedy $|x_1-x_2|$) - z obrázku je zřejmé, že rozdíl x-ových souřadnic bodů B a C je právě délka základny.

EDIT: Dana má samozřejmě snazší řešení. Ale obě varianty jsou možné.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#25 02. 03. 2011 11:10

Honzc
Příspěvky: 3899
Reputace:   215 
 

Re: Sestrojit trojuhelník v kružnici, aby měl co největší obsah

↑ Tomaskocz:
Myslel jsem si, že už je to vyřešené, ale protože není tak tedy takto:

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson