Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2011 14:56 — Editoval Nich (03. 03. 2011 15:15)

Nich
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Limita

Zdravím, řeším příklad:

$\lim_{n\to\infty}\(x*ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4}\)$

A v maplu a v wolframu limita výrazu vychází 1, ale já nemůžu za boha přijít proč...

Řešil jsem to jako složenou funkci... tzn. první sem spočítal limitu (x^2+x+3) / (x^2-4) = 1 ... podle L'Hospytala
Takže si to můžu přepsat na $\lim_{n\to\infty}\(x*ln(1)\)$
Což by mělo být $\lim_{n\to\infty}\(x*0\)$

Ale $\infty * 0 \ne 1$
:-(

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) jelena)

#2 03. 03. 2011 15:28

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ Nich:

Dá se to celkem hezky řešit pomocí základní limity
$\lim_{y \to 0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1$,
stačí si jen vhodně upravit argument toho logaritmu a zavést si nějakou pěknou substituci ; ))


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 03. 03. 2011 15:33

Nich
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Limita

Nemohl bys trochu víc nakopnout ? Tomuhle nějak nerozumím...

Offline

 

#4 03. 03. 2011 15:52

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ Nich:

Tak ta úprava, co jsem měl na mysli, je
$\lim_{x\to\infty}\(x*ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4}\)=\lim_{x\to\infty}\(x*ln\frac{(x^2-4)+4+x+3}{x^2-4}\)=\lim_{x\to\infty}\(x*ln\(1+\frac{x+7}{x^2-4}\)\)$, ještě napovim: $\lim_{x \to \infty}\(\frac{x+7}{x^2-4}\)=0$ a pro dostatečně velká x zlomek nenabývá hodnoty této limity ;))
Teď jde ještě o to to nějak využít k tomu, abychom se nějak zbavili (požitím některých základních vět - aritmetika limit, limita složené funkce... ) toho logaritmu v té limitě. A na to by se mohla hodit zase ta limita, kterou jsem psal výše ; )).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#5 09. 03. 2011 09:15

Nich
Příspěvky: 33
Reputace:   
 

Re: Limita

Dík, nakonec jsem to ale vyřešil jinak... limitu jsem pomocí L'Hospitala jednou zderivoval a potom výraz poupravoval až do formy kdy byla limita opravdu rovna jedničce

Offline

 

#6 09. 03. 2011 18:56 — Editoval claudia (09. 03. 2011 18:57)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Limita

To dosazení jedničky za polynom bez bližšího vysvětlení bych asi bez bližšího zdůvodnění nepřijala. Kterou větu a jakým způsobem tam aplikuješ?


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#7 09. 03. 2011 19:37 — Editoval OiBobik (09. 03. 2011 20:11)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ claudia:
To je reakce na tu moji úpravu výše?
$...=\lim_{x\to\infty}\(x*ln\(1+\frac{x+7}{x^2-4}\)\)$

Nebo na toho L'Hospitala? ono se to dá pochopit tak i tak (nepropočítával jsem si toho L'H, takže nevím, jestli interpretace tvé otázky na L'H má smysl, nebo ne ; )) )


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#8 09. 03. 2011 22:00

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Limita

↑ OiBobik:
Ne, tvé řešení se mi líbí. Nelíbí se mi:

Nich napsal(a):

...
Takže si to můžu přepsat na $\lim_{n\to\infty}\(x*ln(1)\)$
...

Není obecně možné jakoukoli část výrazu nahradit jeho limitou a počítat dále. Možná, že to tady jde nějak zdůvodnit, ale já to bohužel nevidím, proto říkám, že bych to bez zdůvodnění nepřijala.

Jako častý příklad chybné argumentace tohoto typu se uvádí např.:

Mějmě $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n + \frac1{n}}{b_n}$, je zřejmé, že $\frac1{n}\to 0$, takže můžeme psát $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n + \frac1{n}}{b_n}= \lim_{n\to\infty} \frac{a_n + 0}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}$.

To je prosím úplná hloupost. Uvažme například, že by $a_n=b_n=\frac1{n}$. Pak bychom dostali:

$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n + \frac1{n}}{b_n} = \lim \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim 2 = 2$

ale oproti tomu $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac1{n}}{\frac1{n}}=\lim 1=1\neq2$

Je tedy vidět, že obecně se část výrazu, z nějž počítáme limitu, nedá nahradit limitou této části výrazu. A pokud to někdy jde, je třeba zdůvodnit, proč je to korektní. Pokud nicméně máte někdo jiný názor, tak mě prosím opravte, nerada bych Nichovi křivdila.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#9 09. 03. 2011 22:37 — Editoval OiBobik (09. 03. 2011 22:39)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ claudia:

Aha, tak to jo.

No tak to co Nich napsal je zjevně nekorektní, já jsem pragmaticky z toho vytěžil to, co s největší pravděpodobností myslel (a možná ani nevěděl, že to tak myslel, to nevím), a sice že to zkoušel prvně pomocí aritmetiky limit rozdělit na "lim x  * lim ln(zlomek)", dále, když zjistil, že "lim(zlomek)=1", chtěl použít větu o limitě složené fce (a využít tak implicitně předpokladu, že fce ln y je v bodě y=1 spojitá), tedy $\lim_{x \to \infty} \ln \( \frac{x^2+x+3}{x^2-4} \)=\lim_{y \to 1} \ln y$, což je díky stejnému předpokladu spojitosti fce ln y v bodě 1 rovno ln(1) a to je ona kýžená nula. Když to ale dosadil výsledky částečných limit zpět a zjistil, že je má vynásobit, uvědomil si, že mu na levé straně vyšel nedefinovaný výraz. A to je konec pohádky. : ))

Ale možná se mýlím a bylo to celé jinak. Občas mám přebujelou představivost.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#10 09. 03. 2011 22:43 — Editoval claudia (09. 03. 2011 22:45)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Limita

No ale to rozdělení tam psané není a pak nevidím způsob, jak větu o limitě složené funkce na celou funkci $x\cdot\ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4}$ aplikovat.


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#11 09. 03. 2011 22:49 — Editoval OiBobik (09. 03. 2011 22:50)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ claudia:

Však říkám, že jsem si toho tam spoustu domyslel a/nebo vymyslel. Ale myslím, že takhle, jak jsem to napsal, by byl ten postup korektní - ve smyslu, že by se člověk nedopouštěl formálních chyb jako částečné ulimitění apod., nicméně nakonec by se prostě jen prokázalo, že tento způsob nikam nevede (tj. vede na neurčitý výraz). Nebo ty tam snad vidíš nějaký (jiný) důvod, proč u té "lim ln(zlomek)" (tj. po tom rozdělení, před ním to asi opravdu nejde) nelze použít větu o limitě složené funkce? Ptám se jen proto, abych si kdyžtak uvědomil, že i ten můj právě popsaný "postup do slepé uličky" má nějakou formální chybu, kterou jsem přehlédl.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#12 09. 03. 2011 23:07 — Editoval claudia (09. 03. 2011 23:14)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Limita

Takže, jestli správně chápu, ty navrhuješ rovnost:

$\lim_{x\to\infty} x\cdot\ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4} &= \lim_{x\to\infty} x \cdot \lim_{x\to\infty} \ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4} = \lim_{x\to\infty} x \cdot \lim_{y\to 1} \ln y =\\&= \(\lim_{x\to\infty} x\) \cdot \ln 1 = \lim_{x\to\infty} x \cdot \lim_{x\to\infty}\ln 1 = \lim_{x\to\infty} x \cdot \ln 1$

To mi přijde jako méně hrubá chyba, ale přesto je třeba si uvědomit, že první rovnítko ani poslední rovnítko nelze napsat, protože součin těch limit není definován. Proto nelze psát ani:

$\lim_{x\to\infty} x\cdot\ln\frac{x^2+x+3}{x^2-4} = \lim_{x\to\infty} x \cdot \ln 1$.

Dokonce (doufám, že se nepletu) ani za omezující podmínky "pokud obě limity existují" (resp. si nedokáži představit, jak by pomohla).

Aby bylo úplně jasno, nenamítám nic proti pokusu o rozdělení na součin limit. Jak jsem psala výše, s čím nesouhlasím, je samotný výraz

$\lim_{x\to\infty} x \cdot \ln 1$ - nevidím, jak dokázat, že je roven původní limitě (byť za předpokladu, že by existovaly).


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#13 09. 03. 2011 23:38

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ claudia:

Ok, supr, tak to si rozumíme, mně je samozřejmě jasné, že ten závěr (tedy to "rovnítko na konci" a i to "rovnítko na začátku" ) není korektní, ono obecně člověk vždy, když řeší něco pomocí VAL nebo L'H, tak by měl ta rovnítka psát s otazníkem a ty mazat, když mu to vyjde : ))


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#14 09. 03. 2011 23:46 — Editoval claudia (09. 03. 2011 23:51)

claudia
Richard P. Feynman
Příspěvky: 478
Reputace:   41 
 

Re: Limita

↑ OiBobik:

Výborně. Přesto původně mým cílem nebylo přesvědčit tebe, který výpočet hravě zvládá, ale Nycha, který výpočet hravě hádá :-)

Mimochodem, ač je to pouze mým dohadem, ani při řešení s "otazníky", jak tomu říkáš, si nedokáži představit, proč bych použila poslední dva kroky :-) Naopak bych pokračovala na $=\infty \cdot ln 1 = \infty \cdot 0 \text { - nedefinováno}$. Ty poslední kroky prostě nejde použít, dokud neověříme existenci toho součinu limit. A jakmile ji ověříme, pokud existuje, máme výsledek a netřeba dělat žádné další úpravy.

Nechci působit, že se přu o malichernost, ale bylo by mi líto, kdyby se někdo tady na fóru naučil špatným postupům. Sice rozumím tvým argumentům, že se to alespoň zčásti běžnému postupu podobá, ale jsi tak trochu v roli ďáblova advokáta :-)


Pište prosím své dotazy srozumitelně a v TeXu (Detexify). Píšete je jen jednou, ale my je čteme mnohokrát. Čím méně času strávím luštěním vaší otázky, tím více mi zbyde na její zodpovězení.

Offline

 

#15 10. 03. 2011 03:09 — Editoval OiBobik (10. 03. 2011 03:16)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1010
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: Limita

↑ claudia:

: )) advokát... To ani ne, já nikoho nehájím, já si spíš jen tak večerně povídám.  Jestli máš pocit, že ti nějak odporuju, tak to není cílem. Po pravdě se  mi hlavně moc nechce programovat. : D

Já jsem zase chtěl jenom poukázat na rozdíl ve "formálně správném postupu" a "dobrání se k výsledku" - třeba to, co jsem psal výše, formálně správný postup je, i když se z něj člověk nic nedozví, jen, že "tudy cesta nevede".

Jo a jenom tak na okraj: Tu rovnost na konci jsem vůbec nenavrhoval, ona úplně původní myšlenka, proč jsem dneska něco psal, byla přepsat to,co má Niche tak nepřesně napsáno v úvodu, do korektní formy(tedy ne se dostat k výrazu "lim x*ln(1)", ale spíš tak nějak případnému návštěvníkovi ozřejmit, "co tím básník myslel"). Čili mým cílem bylo taktéž dopomoci příp. návštěvníkům, jak správně argumentovat - i když se nedobereme výsledku, mohli bychom tak učinit koretkně a formálně správně. : )))


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson