Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#76 05. 05. 2012 19:17

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

Pozdravujem
Tak uz je tu majovy problem http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
Celkom zabavny!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#77 17. 05. 2012 13:20

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

pozdravujem
Zabavny pekny problem z aritmetiky
Urcite pocet kladnych delitelov csla$n^2$ ktore su mensie ano $n$ a ktore nie su delitelmy cisla $n$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#78 18. 05. 2012 00:36 — Editoval BakyX (18. 05. 2012 00:38)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: najkrajsia teorema



Čo je prosím na tom pekné :) ?


1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#79 20. 05. 2012 14:00

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ BakyX:
Ten vysledok je podla mna celkom pekny.
Bravo za tvoje riesenie.

Inac ten vysledok sa da napisat aj takto:
$\frac{del(n^2)-1}{2}-del(n)+1$
ked $del(n^2); del(n)$ je pocet delitelom cisiel $n^2;n$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#80 02. 06. 2012 15:29

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
tu je riesenie majoveho problemu ( anl. verzia)
http://mathcentral.uregina.ca/mp/previo … y12sol.php


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#81 05. 06. 2012 12:51

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

Dva rekreacne problemy od P. Erdös-a

Nech $( a_1, . . . , a_{n+1})$ su cele cisla rozdielne medzi sebou v $\{1, . . . , 2n \}$
a) Dokazte ze existuju 2 rozne  $ i $ a $ j$  take ze $a_i$ a $a_j$ su nesudelitelne.
b) Dokazte ze existuju 2 rozne  $ i $ a $ j$  take ze $a_i$ deli $a_j$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#82 07. 06. 2012 15:03 — Editoval vanok (07. 06. 2012 15:07)

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

Jedno, pekne cvicenie, z teorie grup.

Predpokladajme, ze:
$G $je konecna grupa radu n 
a $ f :G \rightarrow G $ jeden automorfismu grupy $G$.
Polozme $E = \{x \in G | f (x) = x^{-1}\}$
a naviac, ze  pocet prvkov mnoziny $E$ je vädci ako n/2.
Dokazte ze f je  involucia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#83 09. 06. 2012 16:15

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ahoj,
vzhledem k tomu, že f je automorfismus, tak pro $x \in E$ platí: $f(x^{-1})=f^{-1}(x)=x=(x^{-1})^{-1}$, tj. $x^{-1} \in E$.
Označme X jako pogrupu generovanou množinou E. Zřejmě je X=G, protože E má víc než n/2 prvků (a stačí použít Lagrangeovu větu). Tedy každý prvek $y \in G$ lze vyjádřit jako $y=\prod{x_i}$ pro $x_i \in E$. Z toho, že f je automorfismus a z vlastností prvků E, dostaneme: $f(f(y))=f(\prod{f(x_i}))=f(\prod{x_i^{-1}})=\prod{f(x_i^{-1})}=\prod{x_i}=y$.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#84 09. 06. 2012 16:31

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ahoj. K b): vyjádříme každé číslo $a_i$ jako $2^{b_i}.c_i$ pro $c_i$ liché a rozdělíme čísla do tříd, kde v každé třídě mají čísla stejnou hodnotu $c_i$. Tříd je n, čísel n+1, takže existují dvě čísla ve stejné třídě - potom tedy jedno z nich dělí druhé.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#85 10. 06. 2012 00:02

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ check_drummer:,
Ano to je dokaz pre $card E >\frac n2$
A ako je to ked $card E =\frac n2$?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#86 10. 06. 2012 00:05

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ check_drummer:
a) je tiez "jednoduche", vdaka Diriclet, vieme, ze v $( a_1, . . . , a_{n+1})$ su aspon dve nasledujuce cisla.
A tak vdaka Bezout, su nesuleditelne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#87 10. 06. 2012 10:28

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ahoj, řešení a) mě napadlo před chvílí. Stejné jako vidím u tebe.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#88 11. 06. 2012 13:52 — Editoval OiBobik (11. 06. 2012 16:33)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1011
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:

Ahoj,

chtěl jsem se zeptat, ty máš řešení pro případ $|E|=\frac{n}{2}$ (přesněji: $|E|=\frac{n}{2}$ a $E$ tvoří podgrupu)?
Já bych řekl, že tam to platit nemusí (tj. že $ \exists E \leq G$ konečné grupy takové, že $[G:E] =2$ a $ \exists f \in Aut(G): f^2 \restriction_{E}=\mathrm{id}_E \wedge f^2\neq \mathrm{id}_G $), ale hledání protipříkladu bude asi dost obtížné.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#89 11. 06. 2012 17:42 — Editoval vanok (11. 06. 2012 22:56)

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ OiBobik:
Ahoj, to plati aj pre tu rovnost.
$|E|=\frac{n}{2}$.
Tu mas jeden dokaz:
uvazujme $H$ podmnozinu grupy $G$ vytvorenu pevnymy bodmy $f^2$
$H$ je pochopitelne podgrupa grupy $G$ a to je najvadcia podgrupa na ktorej f je involucia.
$H $ obsahuje mnozinu  $E$.
$\frac n2 \leq |E|\leq |H|$

Predpokladajme, ze $|H| = \frac n2$, a vtedy $E=H$;a  index $H$ je $2$ v grupe $G$.
Nech je  $x \in \frac GH$, take, ze $G$ je disjunktne zjednotenie $H$ a $xH$
Akoze $f $ je bijektivna, a $H$ je f-stabilna,
tak $xH$ je tiez f-stabilne

Pre take $x$, existuje $h \in H$ take ze $f(x)=xh$.
Ale potom $f^2(x)=f(xh)=f(x)f(h)=xhh^{-1}=x$
To znamena, ze $x\in H$, co je spor.

Z toho mame
$|H| > \frac n2$, no vsak $|H| $ musi delit $ n$, tak $|H|=n$
Konkluzia $H=G$ a $f$ je involucia na $G$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#90 11. 06. 2012 17:55

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1011
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:

Díky, nedocházel mi ten krok $f^2(x)=f(xh)$. To je chytré : ))


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#91 11. 06. 2012 18:11

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ OiBobik:
Mam aj ine, co su tiez "pekne", mam tu take dat z casu na cas?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#92 11. 06. 2012 18:24

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1011
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   81 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:

Pakliže myslíš nějaké takovéto problémky, tak já bych byl určitě pro : ))


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#93 11. 06. 2012 20:26

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ahoj, určitě podobné problémy rádi uvítáme - jen bych se přimlouval za to, aby každý problém měl své vlastní vlákno (téma, příspěvek).


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#94 11. 06. 2012 20:29

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ check_drummer:,
Ano,  ale tu davam tie najkrajsie ( podla mna )
Inac pochopitelne nebudem vahat otvorit vzdy nove vlakno.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#95 11. 06. 2012 20:48

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ahoj, asi máš v textu drobný překlep: nerovnosti jsou zde opačně: $|H|\leq |E| \leq \frac n2$.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#96 11. 06. 2012 20:54

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ check_drummer:
ten predpoklad mi dal spor, tak preto plati opacna nerovnost...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#97 11. 06. 2012 21:06

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Ale pokud H obsahuje E, pak je nutně $|H|\geq |E|$. Rovněž předpokládáme (je to předpoklad celého tvrzení), že $|E| \geq \frac n2$ a tedy $|H|\geq \frac n2$. Jestli jsem
myšlenku důkazu pochopil správně, tak pro spor předpokládáme, že místo obou nerovností je rovnost, tj. $|H| = \frac n2$.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#98 11. 06. 2012 21:14

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

nie, lebo som ukazal, ze x, ktore je v xH musi patrit do H, a tak  |H| = n  ( to je ta kontradikcia)
ale predpoklad bol tiez: Bud $x \in \frac GH$, $G$ je disjunktne zjednotenie $H$ a $xH$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#99 11. 06. 2012 22:21

check_drummer
Příspěvky: 2720
Reputace:   73 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:
Takže abychom si to shnuli: která z obou nerovností je špatně?
1) $|H|\geq |E|$
2) $|E| \geq \frac n2$
Děkuji


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#100 11. 06. 2012 23:06 — Editoval vanok (12. 06. 2012 08:56)

vanok
Příspěvky: 13580
Reputace:   730 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ check_drummer:

Obidve su spravne.
1) $|H|\geq |E|$ vdaka definici H
2) $|E| \geq \frac n2$ to je hypoteza.

Inac mal som preklep v mojom preklade do SK (lebo som to nacmaral po FR, a z toho som to prelozil ...ale v preklade uz som nerozmyslal co som mal v originale... lebo matematiku myslim po FR)

Zda sa mi ze to sedi teraz ako treba.
Klucova myslienka, myslim si,  je uvazovat tu grupu H.

Tak dobru noc.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson