Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#126 12. 09. 2012 19:42

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

upozornenie:
tu najdete novu ulohu na september

http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#127 15. 09. 2012 12:24 — Editoval vanok (28. 04. 2015 18:56)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pozdravujem,

Tu pridavam jednoduchu poznamku, co sa tyka rovnice osy dvoch priamok danych ich rovnicou v rovine, ktora sa nezda velmi znama na fore.
Akoze, tento jednoduchy vysledok je pekny, tak iste ma svoje miesto tu.

1.Explicitna forma:
Nech su
$    y = mx + q $
$    y = m_1x + q_1$

rovnice dvoch priamok ktore sa pretinaju v bode $P(x_0,y_0)$.
Potom rovnice osy tychto dvoch priamok
$y - y_0 = k(x - x_0)$ a
$ y - y_0 = -\frac {x - x_0} k$

    kde 
$ m = \tan (\alpha )$
$ m _1= \tan     (\alpha _1)$     
a $k = \tan (\frac { \alpha +\alpha  _1} 2)$

2. Implicitna forma :

   Dve priamky rovnic :
$ ax + by + c = 0 $ à
$a_1x + b_1y + c_1= 0$

  maju rovnice ich osy :
$ \frac {ax + by + c }{\sqrt {a^2+b^2}}= \pm  \frac {a_1 x + b_1 y +c_1}
{\sqrt {a_1^2+b_1^2}} $


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#128 24. 09. 2012 14:22 — Editoval vanok (24. 09. 2012 14:25)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pekny klasicky sucet rady:

$ \sum_{k=1}^{ \infty} \arctan(1/k^2) =
\arctan\left(\frac{1-\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}
{1+\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}\right)$

Ma ho chut niekto dokazat, ( dokaz urobit v tomto vlakne http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=304274#p304274 )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#129 29. 09. 2012 18:02 — Editoval vanok (29. 09. 2012 18:05)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

↑ vanok:

Poznamka:
V AMM ( aug.-sept.1991) je riesenie otazky E3375,  ktore da
$ \tan \sum_{k=1}^{ \infty} \arctan(1/k^2) =
\frac{1-\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}
{1+\frac{\tanh\frac{\pi\sqrt2}{2}}{\tan\frac{\pi\sqrt2}{2}}}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#130 04. 10. 2012 11:50

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Teraz
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
tato strana je aktualizovana a najdete tam oktobrovy problem.
Pekna zabava, pre amaterov funkcionalnych rovnic.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#131 07. 10. 2012 17:07 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:20)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pozdrav vsetkym citatelom tohto prispevku.
citanie vlakna http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=50174 , mi dalo myslienku na:
Poznamka tykajuca sa dokazu vety
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické
vdaka zakladom teorie rozsireni telies (extentions)

mozme dat pomerne jednodnoduchsi dokaz tejto vety...
Tak mame ( uvediem trosicku vseobecnejsiu teoriu )
Def. Ak existuje nenulovy polynom $P \in K[X]$ taky, ze $P(\alpha)=0$,potom, rada
$(1;\alpha;\alpha ^2;...)$ je linearne zavisla. (dokaz nechany citatelovy).

Ak $\alpha^n$je linearne zavisla na $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$ , tak  $\alpha^{n+1}$je linearne zavisla na
$(\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n+1}$ ( vidime to vdaka  nasobeni z $\alpha$  v predoslej situacii) a preto
$\alpha^{n+1}$je linearne zavisla na $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$......ATD $\alpha^{n+2}$.....

Z toho mame, ze konesna postupnost $(1;\alpha;\alpha ^2;...;\alpha^{n-1})$ generuje $K$-lin priestor $K[\alpha]$  hodnot v $\alpha$  polynomov na $K$.( $K[\alpha]$ je aj okruh generovany telesom $K$ a $\alpha$ )

Tato uvaha, nam dala uz tieto vysledky
Algebricke "cislo" na $K$, je prvok telasa $K$ taky, ze jeho postupnost mocnin, je linearne zavisla.
A naviac:$K$-lin priestor $K[\alpha]$ lin priestor ktory generuje je konecnej dimenzie.

Vseobecnejsie, ak vybereme, lubovolny prvok $\beta$, v nejakom rozsireni $L$ konecneho stupna telesa $K$,lin priestor $K[beta]$je podpriestor telesa $L$ a tak konecneho rozmeru, a preto $\beta$ je algebricky na $K$.
To nam da
Kazdy prvok  rozsirenia konecneho stupna  telesa $K$ je algebricky na $K$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#132 30. 10. 2012 14:41 — Editoval vanok (01. 11. 2012 18:39)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Co sa tyka radov, tato pekna teorema je zaujimava (iste najdete na co ju pouzit)
Teorema:
Nech $(u_n) $ je divergentna rada zo striktne kladnymy clenmy.
Oznacme $(S_n)$ jej sumu radu $n$, potom rada
$ \( \frac {u_n}{(S_n)^{\alpha}}\)$ je
konvergentna ak $\alpha >1$,
divergentna ak  $\alpha <1$.


Mozte ju skusit dokazat tu
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=312706#p312706

Z tejto teoremy pre vhodne vybey $u_n$, dostaneme vysledky pre Riemann-ove rady, pre Bertrand-ove rady .... Ze je to magicke!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#133 16. 11. 2012 17:53 — Editoval vanok (16. 11. 2012 18:32)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Kazdy iste pozna peknu teoremu od G.A. Pick-a
http://en.wikipedia.org/wiki/Pick%27s_theorem

Jeho zivot je asi menej znamy:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Georg_Alex … .C5.BDivot


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#134 10. 12. 2012 16:58

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Videli ste poslednu ulohu tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/
Tu je jeho kopia

Find all positive integers such that $n+184$ and $n-285$ are both cubes of integers.

Zabavne, ze.  Nevahajte poslat vase riesenie podla instrukcii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#135 02. 01. 2013 13:53 — Editoval vanok (02. 01. 2013 13:55)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

na riesenie decembroveho problemu pozrite sa tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/

Pre zaujimavost, citujem tu komentar za riesenim:

Comments. Our December problem was suggested by the Correspondence Mathematical Competition in Slovakia 2006/7 ...

Tu mate tiez kopiu ulohy na januar

You have five line segments such that every choice of three of them can be used as the sides of a triangle. (This means that for any three of the segments, the sum of the lengths of the smaller two segments must exceed the length of the third.) Prove that at least one of these ten possible triangles must be acute.

Na detaily pozrite na uz citovane URL.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#136 05. 02. 2013 08:21 — Editoval vanok (05. 02. 2013 08:24)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Skuste vyriesit ulohu na februar

Find all real-valued functions f(x) such that
$f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$
for all real numbers  and .


Podrobnosti na
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#137 26. 02. 2013 16:43 — Editoval vanok (01. 03. 2013 03:21)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

V prispevku #26 a dalsych na tomto vlakne sme trochu hovorili o  Kurzweil-Henstock integraly ako aj o matematikovy Kurzweilovy

Toto vlakno tiez pise na tu temu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=57523

tak nevahajte a si ho tiez precitajte.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#138 03. 03. 2013 13:27 — Editoval vanok (03. 03. 2013 13:29)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

A tento mesiac to zladnete?

A unit fraction is the reciprocal  of a positive integer . The unit fraction  $\frac 1{10}$can be represented as a difference of unit fractions in the following four ways:
$\frac 1{10}=\frac 1{5}-\frac 1{10}$
$\frac 1{10}=\frac 1{6}-\frac 1{15}$
$\frac 1{10}=\frac 1{8}-\frac 1{40}$
$\frac 1{10}=\frac 1{9}-\frac 1{90}$
In how many ways can the fraction $\frac 1{ 2013}$ be expressed in the form
$\frac 1 x-\frac 1 y$
where  x and y  are positive integers?




Podrobne je to tu
http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#139 04. 04. 2013 20:31

Honza90
Příspěvky: 370
Reputace:   
 

Re: najkrajsia teorema

Velmi zajímavý mi připadá fakt, že minimální plocha má v každém bodě nulovou střední křivost.


Wir müssen wissen. Wir werden wissen. David Hilbert

Offline

 

#140 14. 04. 2013 13:32

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Tu je uloha na april

Find all pairs $c$ and $d$ of real numbers such that all roots of the polynomials
$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ and } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$
are nonnegative real numbers.


dana na http://mathcentral.uregina.ca/mp/current/


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#141 06. 05. 2013 16:08

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pozdravujem
v temach : zaujimave ulohy z algebry som navrhol niekolko cviceni z algebry.
Podla mna ide ozaj o zaujimave a poucne cvicenia, a mienit v tom pokracovat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#142 06. 05. 2013 16:12

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

tu najdete riesenie poslednej ulohy pred  pradzninamy
http://mathcentral.uregina.ca/mp/previo … r13sol.php

Cela site je velmi poucna... zatial som na fore nemal ziadne echo co sa jej  tyka.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#143 17. 05. 2013 13:41

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Tu som dal jedno zabavne cvicenie tykajuce sa kruhovej  inverzii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#144 24. 07. 2013 13:43

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

O tejto dedinicii

$\exp(z):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ kde $z\in \mathbb{C}$

exponencialnej funkcii, sa uz viac krat hovorilo na tomto fore.

Napriklad, aj tu

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=63879&p=1

kde som pripomenul, ze prologe Rudin-ovej knihy

http://www.amazon.com/gp/search?index=b … 070542341.

dokaze jej najdolezitejsie vlasnosti ( na troch stranach!), ako aj, ze 

existuje  najmensie nenulove pozitivne cislo $\pi$ take, ze   $e^{\frac {\pi i}2}=i$ a ze take $e^z=1$ len a len ked $\frac z{2 \pi i}$ je cele relativne cislo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#145 11. 09. 2013 16:05

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pozdravy vsetkym
Nasiel som (asi tazku ulohu z geometrie)
Je dana kruznica a v nej 5 vnutornych bodov.
Konstruhujte 5-uholnik (pripadne aj taky ze jeho strany sa mozu pretinat, ako napr. hviezda) taky ze vpisany do danej kruznice a kazdy z danych bodov lezi na jeho jednej strane.
Kolko je moznych rieseni?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#146 25. 09. 2013 12:54

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Pekna vlasnost:
Nie je mozne pokryt rovinu disjunktivnymi kruznicami.
Ale:
Priestor moze byt pokryty disjunktivnymi kruznicami.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#147 30. 09. 2013 01:29

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Tu som hovorit o identite od Sophie Germain.
Ak vas to zaujima skuste si o nej najst nieco na webe.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#148 05. 11. 2013 16:43

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Urcite viete, ze pravidelny sedemuholnik ( heptagon) sa neda konstruhovat z kruzitkom a pravitkom. 
Ale jeho konstrukcia je mozna vdaka origami. 
Prekvapive ze... Hladajte tu konstrukciu na Webe.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#149 05. 11. 2013 21:31

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

Nasiel som jedno origami na heptagon
http://origami.oschene.com/cp/Heptagon% … Circle.pdf

No treba dokazat, ze je to dobre riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#150 19. 12. 2013 18:45 — Editoval vanok (19. 12. 2013 19:04)

vanok
Příspěvky: 13411
Reputace:   724 
 

Re: najkrajsia teorema

V poslednom case tu bolo vela otazok na Laurent- ove rozvoje. 
Bolo by uzitocne pred zacatanym riesenia takychto cviceni, si precitat  a overit, ze aspon toto
http://en.wikipedia.org/wiki/Laurent_series
A pridavam aj niekolko vyriesenych cviceni
http://mathfaculty.fullerton.edu/mathew … dHome.html


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson