Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 07. 2008 20:36 — Editoval ttopi (17. 07. 2008 20:37)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Aplikace Diferenciálního počtu

Zdravím vespolek.

Až teď jsem zjistil, že jsme ve škole něco zanedbali (nevím proč).
Chci si počítat příklady typu, které vidítě dole. Bohužel jsme ve škole nevypočítali ani jeden příklad takového typu a ačkoli to asi nebude nic extra těžkého, chybí mi početní praxe příkladů tohoto typu.

Prosím proto hodnou duši, která mi zde napíše postup i s komentářem :-)
Zároveň to pro vás může být taková rozvička :-)


Příklad1:
Najděte válec, který má při daném objemu minimální povrch.

Příklad 2:
Do kružnice s polomerem r vepište rovnostranný trojúhelník maximálního obsahu.

Příklad 3:
Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Určete délku nejdelšího žebříku, který lze ve vodorovné poloze přenést z jedné chodby do druhé..

Příklad 4:
Kouli o poloměru r je vepsán kvádr se čtvercovou podstavou maximálního objemu. Určete jeho rozměry.

Poprosím o opravdu komentovaný postup s výpočtem. Odkazy na podobné příklady si samozřejmě mohu najít sám. Tak do toho :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#2 17. 07. 2008 23:24

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

to ttopi

Príklad 1. Obdobný sa riešil nedávno tu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3329&p=4 , je to to isté čo ten tvoj, ibaže na konci sú dosadené čísla. Myslím, že je to tam dos? podrobne popísané. Inak ty si tú úlohu zadával:).

Príklad 2.: Neviem či mi to už nemyslí, alebo je tam nejaká chyba ale do kružnice vieme vpísa? rovnostranný trojuholník iba s jedným obsahom nie? a jeho stranu a výšku nie je problém vvypočíta? podľa goniometrických funkcií.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#3 17. 07. 2008 23:49

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Príklad č.3
|   |
|   |
|   |
|   |   <-- chodba o šírke 1,6 m
|   |
|   |
|   |
|\  |
| \ |
|_\|_____________________________
|   \
|_  \______________________________

    ^      ^
     |       |
   rebrík   chodba o šírke 2,4m 



rebrík zviera s chodbou o šírke 2,4m rovnaký uhol alfa ako s kolmicou na chodbu o šírke 1,6m. Jeho dĺžku x vypočítame: $x=\frac{2,4}{sin\alpha}+\frac{1,6}{cos\alpha}$
Tento vvzorec vyjadruje závyslos? dĺžky rebríka iba na uhle alfa. Pomocou derivácie tejto fc musíme nájs? maximum tejto funkcie.
Týmto som si pomerne istý, nasledujúcim tak na 80%

$x'=\frac{2,4}{cos\alpha}-\frac{1,6}{sin\alpha}$
Táto derivácia sa musí rovna? nule, teda dostávame: $0=\frac{2,4}{cos\alpha}-\frac{1,6}{sin\alpha}$. Hmm... to ma akosi teraz nenapadá ako vyrieši?. No ak by sme mali uhol alfa, tak dopočíta? dĺžku rebríka by už nebol problém.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#4 18. 07. 2008 07:28

kaja.marik
Moderátor
Příspěvky: 1907
Reputace:   57 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ matoxy:
Bývá to často v učebnicích, jenom trochu jinak formulované: plavební kanál místo chodby a kláda kterou je potřeba splavit místo žebříku. Určitě by se to dalo dohledat v literatuře.
---------------------------------------------------------------------
Kája poskakoval vedle tatínka a zdál se býti podle jeho vysoké, statné postavy, jako hříbeček pod doubkem. Jenže nebyl tak nehybný jako hříbeček.
Jak se ukázala věž kostela, zastavil se Kája: „Tati, já tam přece nepůjdu! Pojďte, vrátíme se! Mamince je beztoho doma smutno. Já tam ve škole nevydržím sedět!“

Offline

 

#5 18. 07. 2008 08:47

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Tak úloha s žebříkem je vyřešena.

Derivace je rovna 0 pro $x=0,853$, tedy pro nějakých $49^ \circ$.

Pak po dosazení do funkce dostaneme přibližně $5,62$,což je přibližná maximální délka žeříku, který by měl jít protáhnout z jedné chodby do druhé :-)

Díky moc za pomoc, ale příkladů tu ještě pár je, tak do toho :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#6 18. 07. 2008 09:15

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ ttopi:

Zdravim :-)

Ted nemam vice casu - mam na navsteve moji maminku (1,5 denni inspekce jednou za 5 let :-) Ale pridam systematicky navod :

Kazda uloha spociva v nalezeni funkce jedne promenne a ve vysetreni teto funkce na extremy (pomoci nastroju diferencialniho poctu). Daleko vetsi smysl (systematicky) ma umet sestavit tu funkci - spravne zvolit promennou a vysledny tvar funkce.

Proto by bylo dobre, vedet, zda problem cini sestaveni funkce (to bychom se meli vydat smerem k reseni slovnich uloh zejmena geometrickych a nedelat si starosti s diferencialnim poctem). Nebo opravdu vysetreni extremu.

OK?

Offline

 

#7 18. 07. 2008 09:28 — Editoval ttopi (18. 07. 2008 09:31)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ jelena:

Ahoj:-)

Samozřejmě, maminká má vždycky přednost :-)

Jde o to, že třeba v 1.úloze není známo ani jedno číslo, tudíž když sestavím funkci pro povrch válce, jako to udělal vedle kolega Cheop, cituji:
$V=\pi r^2\cdot v$ kde V - objem válce, r - poloměr válce, v - výška válce
$v=\frac{V}{\pi r^2}$
$S=2\pi\cdot r(r+v)$ - povrch válce - má být minimální

Tak budu mít funkci S, ale v ní 2 proměnné, a sice r a V.  A tady narazím.


oo^0 = 1

Offline

 

#8 18. 07. 2008 09:40 — Editoval Cheop (18. 07. 2008 09:45)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ ttopi:
V tom příkladu se píše:
Najděte válec, který má při daném objemu minimální povrch. Z toho tedy plyne, že objem je jakoby znám. (V)
Pomocí V určíš dvě proměnné r- poloměr válce a v - výšku válce tak, aby byl povrch S minimální.
A k tomu právě slouží diferenciální počet, protože pomocí první derivace určíš maximum nebo minimum a pomocí druhé derivace určíš stacionární body.

K příkladu 2.
Nemá být zadání toto?
Do kružnice s polomerem r vepište  trojúhelník maximálního obsahu.
Podle mě pak vyjde, že ten trojúhelník je rovnostranný


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#9 18. 07. 2008 09:50 — Editoval ttopi (18. 07. 2008 09:58)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ Cheop:
To zadání je zkopírované, takže je přesné. Chce se po nás vyjádřit stranu a.

U té 1 jsem si trochu pomohl tím, že jsem si určil, že objem je 20. Pak mi vyšlo, že r musí být 1,47.  Když je V 40, tak r musí být 1,85. Ale když je V neznámé, tak nevím, jak s ním mám počítat.

Správné řešení má být http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learning/images/apli045.gif.


oo^0 = 1

Offline

 

#10 18. 07. 2008 10:24

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

K příkladu 2
Pro poloměr r kružnice opsané trojúhelníku platí vztah:
$r=\frac{a}{2sin\alpha}=\frac{b}{2sin\beta}=\frac{c}{2sin\gamma}$
Protože se jedná o rovnostranný trojúhelník pak $a=b=c$ a dále
$\alpha=\beta=\gamma=60$
$sin\,60=\frac{\sqrt 3}{2}$ pak
$r=\frac{2a}{2\cdot\sqrt3$
$a=r\cdot\sqrt3$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#11 18. 07. 2008 10:38 — Editoval Cheop (18. 07. 2008 10:53)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ ttopi:
$V=\pi r^2\cdot v$
$v=\frac{V}{\pi r^2}$
$S=2\pi\cdot r(r+\frac{V}{\pi r^2})$
$S=2\pi\cdot r^2+\frac{2V}{r}$ derivujeme podle r a derivaci položíme rovnu nule
$S^,=4\pi\cdot r-\frac{2V}{r^2}=0$
$S^,=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}=0$
$4\pi\cdot r^3=2V$
Pak já dospěji ke stejnému výrazu jako ty


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#12 18. 07. 2008 10:47 — Editoval ttopi (18. 07. 2008 10:50)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ Cheop:
To mám, ale nevím, jak to derivovat, když jsou tam 2 proměnné (r a V).
Jak říkám, když jsem si pomohl dosazením V, není problém, ale takto, nevim.
EDIT: Už to vidím. Problém byl v tom, že jsem špatně zderivoval zlomek, kde je V.Díky.

Jinak ten trojúhelník mi vyšel stejně. Zajímavé je, že se k tomu dá dospět i bez derivací. Když jsem sestavil funkci pro obsah vepsaného trojúhelníka v závislosti na poloměru kružnice, maximum bylo v nekonečnu.


oo^0 = 1

Offline

 

#13 18. 07. 2008 12:19 — Editoval Cheop (18. 07. 2008 12:28)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Příklad 4)
Označme:  a - strana čtvercové podstavy
                 v - výška kvádru
                 V - objem kvádru - má být maximální
Musí platit:
$4r^2=v^2+2a^2$ - tělesová úhlopříčka
$v=\sqrt{4r^2-2a^2}$
$V=a^2\cdot v\rightarrow\,max$
$V=a^2\cdot\sqrt{4r^2-2a^2}\rightarrow\,max$ derivujeme podle a a dostaneme:
$V^,=\left(\frac{16r^2a^3-12a^5}{sqrt{4r^2-2a^2}\right)=0$ zkrátíme výrazem$a^3$ a dostaneme:
$16r^2=12a^2\nla^2=\frac{4r^2}{3}\nla=\frac{2r\cdot\sqrt3}{3}$ dopočteme výšku kvádru
$v=\sqrt{4r^2-2a^2}\nlv=\sqrt{4r^2-\frac{8r^2}{3}$
$v=\sqrt{4r^2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}$
$v=\frac{2r\cdot\sqrt3}{3}\nla=v$ jedná se o krychli


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#14 18. 07. 2008 13:18 — Editoval Cheop (18. 07. 2008 13:19)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ ttopi:
Příklad 3)
Myslím, že výsledek není dobře


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#15 18. 07. 2008 13:20

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ Cheop:
Výsledek úspěšně konfrontován se zdrojem.


oo^0 = 1

Offline

 

#16 18. 07. 2008 13:26

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ Cheop:
Tak já to zkusím přepočítat.
Asi jsem někde udělal volaakou chybičku


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#17 18. 07. 2008 14:21 — Editoval matoxy (18. 07. 2008 14:22)

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

to ttopi, ako si prosím ?a vyriešil túto rovnicu:$0=\frac{2,4}{cos\alpha}-\frac{1,6}{sin\alpha}$?
Ja som prišiel iba k úprave: $\frac{2,4}{1,6}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, no aj tak neveim ako prís? na to kedy sa to rovná.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#18 18. 07. 2008 14:55

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ matoxy:
Řešení této rovnice nevede k úhlu 49 stupňů.
Když tu svoji rovnici upravíš, tak ti vyjde $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac23$
$\alpha=33,69{\circ}$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#19 18. 07. 2008 15:06

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Dělal jsem to přes online calculator. A výsledek opravdu vychází, jak má.


oo^0 = 1

Offline

 

#20 18. 07. 2008 15:58

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ ttopi:
Chrpa = Cheop
Výsledek je dobře,už jsem to přepočítal a délka žebříku mě vychází 5,618 m

Offline

 

#21 18. 07. 2008 16:50 — Editoval matoxy (18. 07. 2008 16:52)

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Kde mám teda v svojom postupe chybu? Lebo ja si ju tam neviem nájs?, ibaže by bola zlá samotná myšlienka ako som to počítal?
+ to Chrpa
Pre aký uhol a dosadením do akej rovnice ti vyšla dĺžka rebríka 5,618 m?

Editace: + mne vyšla dĺžka rebríka cez 8 metrov dosadením do tej mojej rovnice uhol alfa tých 33°.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#22 18. 07. 2008 16:56

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

matoxy: Správně je oněch 49°.
Ty jsi mě nakopl správně, tak to sám doklepni. Zderivuj funkci pro délku přepony (vlastně žebříku) a polož rovno 0 - tím získáš úhel, pro který má funkce minimum. Pak dosadíš do funkce a dostaneš délku žebříku, 5,62m.


oo^0 = 1

Offline

 

#23 18. 07. 2008 18:53 — Editoval matoxy (19. 07. 2008 17:30)

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Editace: akosi stále neviem na to prís?, aká je funkcia pre dĺžku rebríka? Z Pytagorovej vety nemôžeme lebo nepoznáme ani stranu a ani b, nie? Potom ostávajú len goniometrické fc a tam ma napadá iba to, čo som napísal. Aká je teda tá funkcia?


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#24 31. 07. 2008 21:29 — Editoval Chrpa (31. 07. 2008 22:06)

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

Dostávám se k vysvětlení po delší době:
Podle obrázku musí platit:
http://forum.matweb.cz/upload/808-zebr.JPG

$L=L_1+L_2\nlL=\sqrt{ x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}\rightarrow\,max$
Z podobnosti trojúhelníka platí:
$\frac ax=\frac yb\nly=\frac{ab}{x}$
$L=\sqrt{ x^2+a^2}+\sqrt{\frac{a^2b^2}{x^2}+b^2}$ - úpravou:
$L=\sqrt{ x^2+a^2}\cdot\left(1+\frac bx\right)\rightarrow\,max$ rovnici derivujeme dle x a derivaci položíme rovnu nule
$L^,=\frac{2x}{2\sqrt{ x^2+a^2}}\cdot\left(1+\frac bx\right)-\frac{b\sqrt{ x^2+a^2}}{x^2}$
$L^,=\frac{x^3-a^2b}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}=0$
${x^3-a^2b}=0$
$x=\sqrt[3]{a^2b}$
Pro náš případ pokud za a a b dosadíme
$a=1,6\nlb=2,4$ dostaneme:
$x\approx\,1,831543$ dopočteme y
$y=\frac{ab}{x}\nly=\frac{1,6\cdot 2,4}{1,831543}\nly\approx\,2,0966$ teď už je možné dopočítat délku žebříku:
$L=\sqrt{ x^2+a^2}+\sqrt{y^2+b^2}\nlL=\sqrt{ 1,831543^2+1,6^2}+\sqrt{2,0966^2+2,4^2}$
$L\approx\,5,6188\,(m)$

Pokud bychom pokračovali v úpravách obecného vztahu pak bychom dospěli k délce:
$L=\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right)^{\frac32}$

Offline

 

#25 01. 08. 2008 13:29

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7606
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   368 
 

Re: Aplikace Diferenciálního počtu

↑ Chrpa:
Ještě doplním:
Pokud budou chodby stejně široké tj:
$a=b$ pak
$L=2a\cdot\sqrt 2$

Pro  $a\ne b$
$L=\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right)^{\frac32}$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson