Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 12. 2011 17:24

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Rozklad tenzoru

Ahoj, potýkám se s tímhle kraťoučkým důkazem:

http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-12/01207_Sph.png,

kde $n$ je dimenze vektorového prostoru, $\mathbf{A}$ je libovolný tenzor druhého řádu, $ \mathbf{I}$ je jednotkový tenzor ($\mathbf{I}\textit{\textbf{x}}=\textit{\textbf{x}}, \ \ \forall \textit{\textbf{x}}\in \mathbb E^n$),
$\text{sph}\mathbf{A}=\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}$,
$\text{dev}\mathbf{A}=\mathbf{A}-\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}$,
$\text{tr}(\mathbf{A})=\mathbf{A}:\mathbf{I}$, dvojtečka značí skalární součin tenzorů (defnice:)



Nerozumím poslední rovnosti (proč je to nula). Díky za rady.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FliegenderZirkus)

#2 05. 12. 2011 18:46

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Rozklad tenzoru

↑ FliegenderZirkus:

Určitě půjde ukázat, že podle té definice je stopa lineární zobrazení. Pak také půjde ukázat, že stopa I je n.

Offline

 

#3 06. 12. 2011 01:26

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Rozklad tenzoru

↑ Pavel Brožek:

Určitě platí, že $\text{tr}(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\text{tr}\mathbf{A}+\text{tr}\mathbf{B}$, neboli $(\mathbf{A}+\mathbf{B}):\mathbf{I}=\mathbf{A}:\mathbf{I}+\mathbf{B}:\mathbf{I}$, protože každý skalární součin musí být distributivní vzhledem ke sčítání, je to jeden z požadavků na skalární součin. To samé platí o násobení skalárem, takže se dá psát
$\text{tr}\(\mathbf{A}-\frac{1}{n}\text{tr}\(\mathbf{A}\)\mathbf{I}\)=\text{tr}\mathbf{A}-\text{tr}\(\frac{1}{n}\text{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}\)=\text{tr}\mathbf{A}-\frac{\text{tr}\mathbf{A}}{n}\text{tr}\mathbf{I}=\text{tr}\mathbf{A}-\frac{\text{tr}\mathbf{A}}{n}n=\mathbf{0}$.
Stopa I by možná šla takhle:
$\text{tr}(\mathbf{I})=\mathbf{I}:\mathbf{I}=I^i_{.j}I_i^{.j}=\delta^i_j \delta^j_i=\delta^i_i=n$.

Označím za vyřešené, kdybys našel nesrovnalost, tak ještě určitě reuguj! Díky:)

Offline

 

#4 06. 12. 2011 02:06

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Rozklad tenzoru

$(\mathbf{A}+\mathbf{B}):\mathbf{I}=\mathbf{A}:\mathbf{I}+\mathbf{B}:\mathbf{I}$

Tohle se mi nezdá tak jasné. Ještě se na to později podívám (asi večer).

Offline

 

#5 06. 12. 2011 11:51

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Rozklad tenzoru

↑ Pavel Brožek:

Jestli bereme jako dané, že $\mathbf{A}:\mathbf{B}$ skutečně je skalární součin, tak mi to přijde jasné z důvodu uvedeného výše. Jestli to ale nevíme, tak je potřeba dokázat všechny požadavky na vlastnosti skalárního součinu, což v učebnici máme, pro tuto vlastnost konkrétně:
http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-12/68189_Distr.png.

Já bych ale řekl, že když dokazuju nějaké tvrzení o vlastnosti stopy tenzoru, která je definovaná pomocí operace „dvojtečka“, tak už bych měl znát vlastnosti této operace, konkrétně že to je skalární součin...

Offline

 

#6 06. 12. 2011 11:56

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Rozklad tenzoru

↑ FliegenderZirkus:

Asi máš pravdu, pokud píšou, že to je skalární součin (a zvlášť když máte dokázané, že to tak skutečně je), tak bych už nic víc nedokazoval.

Mně nebylo na první pohled jasné, že to je skutečně skalární součin, proto jsem to napsal.

Offline

 

#7 06. 12. 2011 12:04

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Rozklad tenzoru

↑ Pavel Brožek:

Tak to už mám pokud jde o tenhle důkaz čisté svědomí, díky za pomoc.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson