Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 12. 2011 22:25

Benny
Zelenáč
Místo: Praha
Příspěvky: 11
Reputace:   
 

Řešení diferenční rovnice

Všechna řešení rovnice:

$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$

Nevíte jak začít ?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) BakyX)

#2 12. 12. 2011 22:41 — Editoval vanok (12. 12. 2011 22:42)

vanok
Příspěvky: 13364
Reputace:   723 
 

Re: Řešení diferenční rovnice

Ahoj ↑ Benny:,
Vyries najprv charaktericku rovnicu homogenej rovnice a vdaka tomu najdi jej jej vseobecne riesenie.
Potom najdi jedno partikuliarne riesenie celej rovnice, co ti umozni dat jej vseobecne riesenie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 13. 12. 2011 10:12 — Editoval vanok (16. 12. 2011 12:24)

vanok
Příspěvky: 13364
Reputace:   723 
 

Re: Řešení diferenční rovnice

↑ Benny:

Vidim ze sa to nepohlo.

Tak druha seria navodov.

Charaktericka rovnica sa pise:
$X^3-3X^2-3X+1=0$
a $-1$ je jeden z jej korenov.

Mozme hladat partikuliarne riesenie kompletnej rovnice vo forme $y_n=C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 16. 12. 2011 13:05 — Editoval vanok (16. 12. 2011 16:42)

vanok
Příspěvky: 13364
Reputace:   723 
 

Re: Řešení diferenční rovnice

Vidim ze nikto neodpoveda.
Tak tu dam cele riesenie rovnice
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$.

Prva etapa:
Riesenie homogennej rovnice:
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=0$:$X^3-3X^2-3X+1$
Jej charaktericka rovnica je:
$X^3-3X^2-3X+1=0$
ktora je ekvivalentna z:
$(X+1)(X^2-4X+1)=0$
co nam da lahko jej korene
$X_1=-1$
$X_2=2-\sqrt 3$
$X_3=2+\sqrt 3$
Tak jej vseobecne riesenie sa pise
$Y_n=K_1(-1)^n+K_2(2-\sqrt3)^n+K_3(2+\sqrt3)^n$
kde$ K_1, K_2 , K_3$ su lubovolne konstanty.


Druha etapa:
Partikularne riesenie nehomogennej rovnice:
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$
sa da napisat v forme
$y_n=C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2$
Dosadenim dostaneme:
$C_1*2^{n+3} +C_2 +C_3*{(n+3)}+C_4*{(n+3)}^2$
$-3(C_1*2^{n+2} +C_2 +C_3*{(n+2)} +C_4*{(n+2)}^2)$
$-3(C_1*2^{n+1} +C_2 +C_3*{(n+1)} +C_4*{(n+1)}^2)$
$+C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2=$
$n^{2}+2^{n}$.

Z toho dostaneme:
$C_1=-\frac19$
$-4C_2+C_3(-4n-6) +C_4(-4n^2-12n-6)=n^2$
Z poslednej rovnice mame
$-4C_2-6C_3-6C_4=0$
$-4C_3-12C_4=0$
$-4C_4=1$
A konecne
$C_4=-\frac 14$
$C_3=\frac 34$
$C_2=-\frac34$

Tak mame toto partikuliarne riesenie danej rovnice:
$y_n=-\frac19*2^n -\frac34 +\frac 34*n -\frac 14*n^2$

Tretia etapa:

Konecne mozme vyjadrit vseobecne riesenie danej rovnice:

$Y_G=Y _n+y_n=K_1(-1)^n+K_2(2-\sqrt3)^n+K_3(2+\sqrt3)^n$
$-\frac19*2^n -\frac34 +\frac 34*n -\frac 14*n^2$
kde$ K_1, K_2 , K_3$ su lubovolne konstanty.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson