Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 09. 2008 20:23

carl
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

pytagorove trojice

jaky je postup pri vyhledavani pytagorovych triojic PLS pomocte

Offline

 

#2 26. 09. 2008 21:44

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: pytagorove trojice

Mno, existuji na to vzorecky, ktere dosazovanim prirozenych cisel generuji vsechny Pytagorejske trojice. Nicmene mi ten vzorecek prijde na zakladni skolu mozna prilis slozity, cili ho sem i s vysvetlenim psat nebudu, ale kdybys ho chtel znat, dej vedet.

Priklady trojic:

( 3, 4, 5)             ( 5, 12, 13)     ( 7, 24, 25)     ( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)     (11, 60, 61)     (12, 35, 37)     (13, 84, 85)
(16, 63, 65)     (20, 21, 29)     (28, 45, 53)     (33, 56, 65)
(36, 77, 85)     (39, 80, 89)     (48, 55, 73)     (65, 72, 97)


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#3 27. 09. 2008 08:48

carl
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

ahoj jj chtel bych ho znat + vysvetleni dííky moc

Offline

 

#4 27. 09. 2008 10:19

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

Na této stránce se dá lecos najít.


oo^0 = 1

Offline

 

#5 27. 09. 2008 10:24

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

Jinak našel jsem jeden vzorec, který zaručeně funguje.

Máme-li 2 přirozená čísla p a q, kde p>q, pak získáme pythagorejské trojice takto:

odvěsna: $p^2-q^2$
odvěsna: $2pq$
přepona: $p^2+q^2$

Myslím, že to není tak těžké, jak říká Lishaak.


oo^0 = 1

Offline

 

#6 27. 09. 2008 10:41

carl
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

mužete uvest aspon jeden přiklad abych to lepe pochopil

Offline

 

#7 27. 09. 2008 10:45 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:05)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

Za jisté.

Volím: $p=6 \nl q=3$

Pak:
$6^2-3^2=36-9=27=a\nl2\cdot6\cdot3=36=b\nl6^2+3^2=36+9=45=c$
což vlastně není nic jiného, než známá trojice 3;4;5 vynásobená číslem 9.

EDIT: Poměrně se nudím, tak dáme ještě jeden :-)

Volím $p=7 \nl q=5$

Pak:
$7^2-5^2=49-25=24\nl2\cdot7\cdot5=70\nl7^2+52=49+25=74$


oo^0 = 1

Offline

 

#8 27. 09. 2008 11:16

jimy
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

prosim o pomoc při řešení příkladu )a+3b)nadruhou

Offline

 

#9 27. 09. 2008 11:20

carl
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

RE:ttopi


Diky moc uz to chapu ..velka vďaka

Offline

 

#10 27. 09. 2008 11:22 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:22)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

Je to trochu mimo, ale budiž.

Takový příklad se řeší pomocí vzorce $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ (volím záměrně x a y, kvůli přehlednosti další věty).

V našem příkladě x=a a y=3b.

Aplikujme tedy vzorec. Dostáváme $a^2+2\cdot a\cdot3b+(3b)^2=a^2+6ab+9b^2$.

Je to jasné?


oo^0 = 1

Offline

 

#11 27. 09. 2008 11:29

jimy
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

prosim o postup a reseni rovnice2x-1)na druhou

Offline

 

#12 27. 09. 2008 11:31 — Editoval ttopi (27. 09. 2008 11:31)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

Totéž v bledě modrým.

podle vzorce $(a-b)^2=a^2-2\cdot a\cdot b+b^2$.

a=2x
b=1

Po aplikaci $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$


oo^0 = 1

Offline

 

#13 27. 09. 2008 11:42

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: pytagorove trojice

↑ jimy:

Vystraha od moderatora. Pro kazdy priklad prosim zakladej nove tema, je to psano v pravidlech fora, bod 2. Doporucuju precist a dodrzovat.

Hezky den


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#14 26. 11. 2009 20:33

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

ahoj, chtěla bych se zeptat, jaký by byl postup při hledání pythagoryjské trojce, když vím, že (65,y,z). Zkoušela jsem to přes známé vzorečky, vyšlo mi jen (65,72,97). Zajímalo by mě, jestli se dá nějak určit, kolik těch trojic s tím číselm 65 na začátku (odvěsna) bude. Děkuji za odpověď.

Offline

 

#15 26. 11. 2009 21:10 — Editoval Chrpa (26. 11. 2009 21:11)

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:
S číslem 65 jako nejkratší odvěsnou budou ještě trojice:
$(65\,;156;\,169)\nl(65\,;\,420;\,425)\nl(65\,;\,2112;\,2113)$

Offline

 

#16 26. 11. 2009 21:22

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

↑ Chrpa: děkuji moc a jak se na toto přijde? To bych to podle zrorečku počítala do nekonečna :-(

Offline

 

#17 26. 11. 2009 21:39

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:
Mnou uvedené trojice vychází z jednoduchého principu:
Rozložím číslo 65 na součin prvočísel tj: $65=5\cdot 13$
První trojice bude mít strany 13 krát delší než trojúhelník, jehož nejkratší strana bude 5
Najdeme trojici,jehož nejmenší íslo bude 5
Já to dělám takto:
Umocním toto číslo na druhou a pak další číslo bude:
$\frac{5^2-1}{2}$
a daší číslo bude:
$\frac{5^2+1}{2}$
Tedy trojice bude:
$(5\,;\,12;\,13)$ a teď stačí jen tato čísla vynásobit 13
To samé udělám pro číslo 13 tj:
$\frac{13^2-1}{2}$
$\frac{13^2+1}{2}$
Budou to čísla:
$(13\,;\,84;\,85)$ a vynásobím 5
To samé udělám pro číslo 65 tj:
$\frac{65^2-1}{2}$
$\frac{65^2+1}{2}$

Offline

 

#18 26. 11. 2009 22:09

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

↑ Chrpa:mnohokrát děkuji za návod, ale zas nemůžu přijít na to, jak z toho vypočítám (65,72,97)

Offline

 

#19 27. 11. 2009 09:29 — Editoval Chrpa (27. 11. 2009 09:49)

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:
Ta tvoje čísla vychází z tohoto:
$65^2+y^2=z^2\nl65^2=z^2-y^2\nl65^2=(z+y)(z-y)\nl5^2\cdot13^2=(z+y)(z-y)\nlz+y=13^2\nlz-y=5^2\nlz+y=169\nlz-y=25\nl2z=194\nlz=97\nly=72$
Čísla budou:
$(65\,;\,72\,;\,97)$

Offline

 

#20 07. 12. 2009 21:59

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

nějak mi ale pořád nejde na mozek, jak získám při výpočtu ve výsledku všechny ty 4 pythagoryjské trojce.

Offline

 

#21 07. 12. 2009 22:23

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:

$65^2+b^2=c^2$
$5\cdot5\cdot13\cdot13=(c+b)(c-b)$
Teď bych si rozepsal všechny možnosti (c-b) a (c+b), protože b>0, můžou to být
(5)*(5*13*13)
(5*5)*(13*13)
(13)*(13*5*5)
a triviální (1)*(5*5*13*13)

Pro každou možnost vyřešíš soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, například pro první možnost to bude
$c-b=5$
$c+b=5\cdot13\cdot13$
$c=5+b$, dosadíš do druhé
$2b+5=845$
$b=420$
$c=425$
Dostali jsme první trojici (65, 420, 425)

Offline

 

#22 07. 12. 2009 23:26 — Editoval Petuhik (08. 12. 2009 00:04)

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

FailED[/re]

děkuji moc, tak tohle jsem pochopila hned, a je možné, že když jsem to 65 dala na místo b, tak že vyšly stejný čísla, akorát přehozený? (420,65,425), nebo u toho je opět jiný postup:-(

Offline

 

#23 08. 12. 2009 15:09

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:
Sčítání je komutativní - $a^2+b^2=b^2+a^2$, proto Ti musí vyjít stejná čísla.

Offline

 

#24 08. 12. 2009 15:31

Petuhik
Příspěvky: 98
Reputace:   
 

Re: pytagorove trojice

↑ FailED:

ajooo.......děkuju mocc.....sem trubka. A jak to teda bude s tím, že když bude 65 na přeponě, tedy a na 2 + b na 2 = 65 ? Měly by vyjiít opět 4 trojice?

Offline

 

#25 08. 12. 2009 15:48

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: pytagorove trojice

↑ Petuhik:
Když je 65 přepona,  budeš muset odečítat čtverce od $65^2$ a testovat jestli ten rozdíl je čtverec, $a^2+b^2$ nejde rozložit na součin.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson