Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 04. 2012 10:28

Mythic
Příspěvky: 217
Reputace:   
 

Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Zdravím,
mám zadanou posloupnost: $a_{n+1}=q\cdot a_{n} +4$ a měl bych jí převést na vzorec pro n-tý člen. Vůbec nevím jak na to. Napadlo mě vyčíslit si třeba tři první členy a pak zkoumat vlastnosti. Vždycky tam přibyde jeden člen s q na mocninu o jednu vyšší, než byla u předchozího členu... Ale nevím jak to zapsat

Offline

 

#2 22. 04. 2012 11:30

mák
Místo: Vesmír, Galaxie MD
Příspěvky: 741
Reputace:   57 
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Pokud je následující člen:
$a_{n+1}=a_{n}\,q+m$

Pak k-tý člen by mohl být:
$a_{n+k}=m\,\sum_{i=1}^{k}{q^{i-1}}+a_{n}\,q^{k}$

Offline

 

#3 22. 04. 2012 11:44

Mythic
Příspěvky: 217
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Myslím, že by to mělo jít i nějak jednodušejš, protože pak je další krok: vypočtěte limitu při q=0,5. A z výrazu kde je suma počítat limitu neumím...

Offline

 

#4 22. 04. 2012 11:52

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Zdravím,

toto je úloha z Maturity - tak? Byla ještě opakovaně konzultována, pohledám odkaz. Mně se v tom jevilo ne úplně v pořádku zadání (nebo něco jiného se mi nezdálo), zkusím nahlásit do nevyřešených úloh, jestli by se někdo nepodíval a upřesnil.

Snad pomůže.

Offline

 

#5 22. 04. 2012 12:12 — Editoval jarrro (22. 04. 2012 12:32)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

tak bude to geometrická postupnosť plus konštantná postupnosť
$cq^n+b$
b sa určí ako riešenie rovnice
$b=bq+4\nlb=\frac{4}{1-q}$
teda $cq^n+\frac{4}{1-q}$
c sa učí konkrétjnejšie ak je aj nejaká počiatočná podmienka ak nie je tak je každé c dobré
vždy platí pri takýchto diferenčných rovniciach, že ak je
$a_{n+1}=f{\left(a_n\right)}+g{\left(n\right)}$ ,
tak
$a_n=b_n+c_n$, kde $b_n$ je všeobecné riešenie rovnice
$b_{n+1}=f{\left(b_n\right)}$
a c_n je jedno konkrétne riešenie pôvodnej rovnice


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#6 22. 04. 2012 12:51

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:

Zdravím,

tady jsem to "rozvrtala" :-) Zde komplet zadání. Tak pokud by se podařilo kompletně opravit, bylo by dobře - s použitím nástrojů SŠ.

Moc děkuji.

Offline

 

#7 22. 04. 2012 13:35 — Editoval jarrro (28. 09. 2018 13:43)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jelena:tak dá sa myslím aj na SŠ ukázať, že platí čo som písal v predchádzajúcom príspevku, lebo ak $a_{n+1}=f{\(a_n\)}+g{\(n\)}\nl a_{n}=b_n+c_n$ , tak
$b_{n+1}+c_{n+1}=f{\(b_n+c_n\)}+g{\(n\)}\nl f{\(b_n\)}+f{\(c_n\)}+g{\(n\)}=f{\(a_n+b_n\)}+g{\(n\)}$
čo určite platí ak $f{\(x\)}=qx$ a možno aj pre iné f neviem teraz momentálne.
teda máme riešenie $a_n=cq^n+\frac{4}{1-q}$
a je tam podmienka $a_1=0$
teda $cq+\frac{4}{1-q}=0\nl c=\frac{4}{q\(q-1\)}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 22. 04. 2012 14:32

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:

děkuji, já si to později promyslím. Teď nedoučuji, ani nepřipravuji na maturity, tak začínám ztrácet přehled, zda bych to snadno vysvětlila při přípravě, myslím, že ne.

Offline

 

#9 22. 04. 2012 17:56 — Editoval peter_2+2 (22. 04. 2012 19:12)

peter_2+2
Příspěvky: 170
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Já bych nato šel přesně tak, jak naznačil Mythic

$a_{n+1}=q\cdot a_{n} +4$

n=1... a1
n=2... q*a1 +4
n=3... q*(q*a1 +4) + 4= q^2*a1+4*q+4
n=4... q*(q^2*a1+4*q+4) + 4 = q^3*a1+4*q^2+4*q+4
n=5... q*(q^3*a1+4*q^2+4*q+4)+4 = q^4*a1+4*q^3+4*q^2+4*q+4

Takže ta posloupnost pro konkrétní "n" bude vypadat
$ a_{n}=q^{n-1}*a_{1}+4*q^{n-2}+4*q^{n-3}...4*q^{0} $

Čili jak napsal Mák, akorád teda nevím, jestli ten zápis sumy se takto dá nechat pro k=0.

Jinak pokud ta tvoje posloupnost Jarro platí, samo tam nejde dosadit za q=1, ale jestli tam je jen podmínka a1=0, pak bys tam ten první člen q^(n-1)*a1 mohl normálně přidat a mělo by to fungovat. Teda ne pro q=1.

$a_n=q^{n-1}*a_{1} + cq^n+\frac{4}{1-q}$

Teda snad...

Offline

 

#10 22. 04. 2012 18:13

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11876
Reputace:   876 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#11 22. 04. 2012 18:29 — Editoval peter_2+2 (23. 04. 2012 10:52)

peter_2+2
Příspěvky: 170
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

Btw

Offline

 

#12 22. 04. 2012 20:41

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ Mythic:
Ahoj, vhodné je zavést pomocnou posloupnost $b_n:=a_n-a_{n-1}$. Pak je $b_n=q.b_{n-1}$ a $a_n=\sum_{i=2}^{n}{b_i} - a_1$.
Nakonec lze získat výsledek jako zdenek1.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#13 23. 04. 2012 07:49 — Editoval jarrro (23. 04. 2012 07:51)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ zdenek1:↑ check_drummer:nie je to taký tvar ako môj,len s inými parametrami? moje c nemusí byť presne
$a_1$, ale závisí na ňom a tiež na q?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#14 23. 04. 2012 10:39 — Editoval peter_2+2 (23. 04. 2012 10:41)

peter_2+2
Příspěvky: 170
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:

jarrro napsal(a):

a je tam podmienka $a_1=0$
teda $cq+\frac{4}{1-q}=0\nl c=\frac{4}{q\(q-1\)}$

Ty si tam prostě jen měl dát že podmínka je $a_1=a_1$. Protože v zadání není, že by a1 bylo 0. Jinak to je úplně to stejné ve výsledku. Nebo jsem to možná nepochopil co jsi se snažil říct.

Offline

 

#15 24. 04. 2012 07:42

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#16 24. 04. 2012 10:42

peter_2+2
Příspěvky: 170
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:
Are you sure?

Já to tam nevidím.

Offline

 

#17 24. 04. 2012 11:51

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ peter_2+2:áno v tom maturitnom v tomto vlákne nie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#18 24. 04. 2012 16:28

peter_2+2
Příspěvky: 170
Reputace:   
 

Re: Převod posloupnosti rekurentní na vzorec pro n-tý člen

↑ jarrro:
Aha, toho jsem si nevšiml až teď, že tu je jakýsi odkaz.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson