Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 05. 2012 12:59

skoroakvarista
Místo: Praha
Příspěvky: 299
Škola: FJFI ČVUT - ASI
Pozice: Student
Reputace:   20 
 

Plošný míra množiny

Zdravím, rád bych vás poprosil o překontrolování mého postupu.
Zadání: Vypočtěte plošnou míru množiny $$$S=\left\{(x,y)\in\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}^2:\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)^3\leq xy\ \land\ x,y\geq 0\right\}$$$, kde $a,b>0$ jsou parametry. (Symbolem $$$\mathrm{\textbf{\textrm{E}}}$$$ u nás značíme Euklidovský prostor.)
Můj postup: Množinu S jsem si převedl do pseudopolárních souřadnic $x=a\varrho\cos^2\varphi;\ y=b\varrho\sin^2\varphi$. Jacobiánem tohoto zobrazení je $\Delta_J=2ab\varrho\sin\varphi\cos\varphi$. Na proměnné $\varrho,\varphi$ jsem dostal tato omezení $0<\varrho\leq ab\sin^2\varphi\cos^2\varphi\ \land\ \varphi\in(0;\pi/2)$.
Potom by mělo platit $\mu_2(S)=\int_S{1\cdot\mathrm{d}\mu_s(x,y)}\stackrel{*}{=}\int_0^{\pi/2}{\int_0^{ab\sin^2\varphi\cos^2\varphi}{2ab\varrho\sin\varphi\cos\varphi\ \mathrm{d}\varrho}\mathrm{d}\varphi}=\frac{a^3b^3}{60}$.
Ta poslední rovnost je kontrolována ve WA, pokud si nechám množinu S vykreslit s rozumnými parametry a,b, tak by výsledek podle oka mohl být dobře. V čem si ale nejsem jistý, je rovnost $\stackrel{*}{=}$ a omezení na proměnnou $\varphi$.

Díky předem.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson