Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 06. 2012 18:47 — Editoval FliegenderZirkus (13. 06. 2012 20:40)

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Úpravy výrazů se stopou tenzoru

Nemůžu přijít na to, jak zdůvodnit tyto úpravy (A je tenzor druhého řádu) :

(1)        $\frac12 \(\text{tr}\(\mathbf{A}^2\)-\text{tr}\(\mathbf{AA}^T\)\)=\text{tr}\(\mathbf{AA}^T\)$,

(2)        $\frac14 \(\text{tr}\(\mathbf{A}^3\)-\text{tr}\(\mathbf{A}^2\mathbf{A}^T\)\)=\text{tr}\(\mathbf{AA}^T\)^2$.

Přitom platí:
$\text{tr}\(\mathbf{A}\)=\mathbf{I}:\mathbf{A}$, kde $\mathbf{I}$ je jednotkový tenzor,
$\text{tr}\(\mathbf{AB}\)=\text{tr}\(\mathbf{BA}\)$
$\mathbf{A}:(\mathbf{B}\mathbf{C})=(\mathbf{B}^T\mathbf{A}):\mathbf{C}=(\mathbf{A}\mathbf{C}^T):\mathbf{B}$
Příklad toho, jak se s těmito pravidly počítá:
$\text{tr}\(\mathbf{A}^2\mathbf{A}^T\)&=\text{tr}\(\mathbf{A}\mathbf{A}\mathbf{A}^T\)=\text{tr}\(\mathbf{A}\mathbf{A}^T\mathbf{A}\)=\mathbf{I}:\[(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)\mathbf{A}\]=\mathbf{A}^T:\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T:\mathbf{A}^T=\mathbf{A}\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T:\mathbf{I} \\ 
&=\text{tr}\(\mathbf{A}\(\mathbf{A}^T\)^2\)$.

Umí toto případně WolframAlpha nebo Mathematica? Díky za reakce

EDIT: Po dosazení jednotkového tenzoru mi připadá, že rovnosti (1), (2) neplatí...knihu ovšem mám kvalitní a chyb je v ní minimum. :)

EDIT 2: Vyřešeno, ty rovnosti skutečně neplatí, ale není to chyba v knize, jen mé nepochopení toho, o co v úloze jde.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FliegenderZirkus)

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson