Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 12. 2008 15:30

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Maximální řešení diferenciální rovnice

Dobrý den všem,
potřebuju poradit s maličkostí, o které jsme si ve škole neříkali (nejsem si toho vědom), ale narazil jsem na to v nějakých příkladech na internetu.

Zadání zní:
Nalezněte všechna maximální řešení rovnice $xy\prime =1+y^2$

S řešením samotné rovnice jsem snad problém neměl, vyšlo mi
$\frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{x}\nl \arctan(y)=\ln |x|\rightarrow y=\tan(\ln |x|)$

Co teď ale nevím je, co znamená nalézt maximální řešení. Prosím někoho zkušeného, aby mě proškolil v jistě tak banální věci. Díky :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#2 05. 12. 2008 15:46 — Editoval Marian (05. 12. 2008 16:04)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2506
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ ttopi:

Asi ti neodpovím přímo, ale minimálně ti tam chybí konstanta po integraci, takže bych zapsal řešení tvé diferenciální rovnice ve tvaru
$ y=\tan\left (\ln |Cx|\right ),\qquad C\in\mathbb{R}\setminus\{ 0\} . $

Určil bych dále maximální obor, ve kterém má smysl hovořit o nalezené funkci jako o řešení zmiňované diferenciální rovnice. Musíš se také ještě pro úplnost optat, zda-li rovnice nemá nějaké výjimečné řešení. Pak bych byl přesvědčen, že to co jsem našel je maximální řešení diferenciální rovnice.

Offline

 

#3 05. 12. 2008 15:54 — Editoval ttopi (05. 12. 2008 15:54)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ Marian:

Mohu se zeptat, proč jsi konstantu umístil do argumentu logaritmu? Pokud jsem zderivoval při postupu pravou i levou stranu, dostal jsem na obou stranách konstantu (řekněme nalevo D a napravo C). Pak osamostatním y tak, že D odečtu, čili budu mít y=....+(C-D) pak by ta konstanta měla být až v argumentu té tangenty, navíc jako (ln|x|+(C-D)), ne?


oo^0 = 1

Offline

 

#4 05. 12. 2008 16:01 — Editoval Marian (05. 12. 2008 16:04)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2506
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ ttopi:

Jedná se o klasický trik, který se používá v kurzech o diferenciálních rovnicích. Uvedu podrobnosti:
$$$ \begin{array}{rcl} \frac{\mathrm{d}y}{1+y^2}&=&\frac{\mathrm{d}x}{x}\\ \arctan\, y+C_1&=&\ln |x|+C_2,\qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}\\ \arctan\, y&=&\ln |x|+(C_2-C_1),\\ \arctan\, y&=&\ln |x|+\boxed{C_0},\qquad C_0:=C_2-C_1\quad\Rightarrow\quad C_0\in\mathbb{R}\quad\Rightarrow\quad\exists C\in\mathbb{R}\setminus\{ 0\} :\, C_0=\ln |C|,\qquad\mathrm{tedy}\\ \arctan\, y&=&\ln |x|+\boxed{\ln |C|}\\ \arctan\, y&=&\ln |Cx|. \end{array} $$$

Offline

 

#5 05. 12. 2008 16:06

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ Marian:

Díky, budu si to pamatovat.

Je pro to nějaké rozumné logické vysvětlení? Nejsem si tím úplně jist, ale myslím, že i z (ln|x|+C) i z ln|Cx| můžu dostat libovolné číslo. Navíc u toho ln|Cx| nemůže být C záporné, aby z toho nebyl ln záporného čísla, což nelze. Přijde mi to vzhledem k té konstantě trochu omezené.


oo^0 = 1

Offline

 

#6 05. 12. 2008 16:17 — Editoval Marian (05. 12. 2008 16:21)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2506
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ ttopi:
C musí být pouze nenulové. Jsou tam z toho důvodu absolutní hodnoty. Ta metoda má uplatnění především u řešení diferenciálních rovnic u nichž se provádí variace konstanty. Pak je dobré, ať ta konstanta vypadá k světu. Posuď sám, co ti přijde snazší
$ \ln |y|=\ln |x| +C_0=\ln|Cx|\quad\Rightarrow\quad y=Cx $

nebo

$ \ln |y|=\ln |x|+D_0=\ln |x|+\ln e^{D_0}=\ln|xe^{D_0}|\quad\Rightarrow\quad y=xe^{D_0}. $

Někdy se totiž skutečně hodně vyplácí změnit si tvar konstanty.

Offline

 

#7 05. 12. 2008 16:21

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ Marian:
S tím nezáporným C se omlouvám. Vůbec mi nedocvaklo, že je tam |..| (holt už čekám na oběd, tak mam myšlenky jinde).
Zároveň uznávám, že u toho logaritmu je skutečně lepší nacpat konstantu do argumentu.

Díky za vysvětlení.


oo^0 = 1

Offline

 

#8 05. 12. 2008 20:00

kaja.marik
Moderátor
Příspěvky: 1907
Reputace:   57 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

Maximalni reseni je reseni, ktere nejde prodluzit.

Vzhledem k tomu, ze po vyjadreni y' bude prava strana nespojita v nule, budou reseni pravdepodobne koncit v nule.

pokud se ucite jenom klasicky resti diferencialni rovnice, tak se tim pojmem maximalni reseni myslim moc zabyvat nemusite.

Pokud delate klasickou obecnou teorii, tak prodluzovani reseni je jedna ze zakladnich veci, popisovana snad v kazde literature (v cestine napr. skripta MU Kalas+Rab)

Offline

 

#9 05. 12. 2008 20:01 — Editoval kaja.marik (05. 12. 2008 20:02)

kaja.marik
Moderátor
Příspěvky: 1907
Reputace:   57 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

ttopi napsal(a):

(holt už čekám na oběd, tak mam myšlenky jinde).

jdou Vam spatne hodinky ......

Offline

 

#10 05. 12. 2008 21:21

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ kaja.marik:
Díky za odpověď.
My se to neučíme, ale já se na to rozhodně podívám.

P.S.: Snad neobědváte s odbitím dvanácté přesně? :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#11 05. 12. 2008 22:38

kaja.marik
Moderátor
Příspěvky: 1907
Reputace:   57 
 

Re: Maximální řešení diferenciální rovnice

↑ ttopi:
to ne ale pul pate je prece jenom pozde, dneska jsme s kolegy meli hlad uz v pul dvanacte.

U toho prodluzovani jde o to, ze pokud reseni nejde prodlouzit, tak konci na hranici mnoziny kde je funkce f(x,y) z diferencialni rovnice y'=f(x,y) spojita.

Zhruba receno, reseni diferencialni rovnice muze nejit prodlouzit za bod, ktery je bodem nespojitosti funkce, nebo muzeme narazit na problem, ze reseni ma svislou asymtptotu - utece v konecnem case do nekonecna. V tech ostatnich pripadech to jde podle Peanovy vety aspon o kousek prodlouzit. Pokud plati napriklad Lipschizova podminka, tak jde prodlouzit dokonce jednoznacne.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson