Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 05. 2013 17:36 — Editoval MirekH (02. 05. 2013 20:14)

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Kdyby byl nějaký postup moc stručný, dejte vědět a já ho rozepíšu detailněji.
Pokud najdete nějaké překlepy, budu rád, když mě na ně upozorníte.

Pokud si chcete ověřit postupy i z jiného zdroje, můžete se podívat zde na řešení na webu Nabla (autorem je Michal Staruch).

1) [1 b]
$S = \frac{1}{3}S + \frac{2}{5}S + 4$
$S = \frac{11}{15}S + 4$
$\frac{4}{15}S = 4$
$S = 15 \mathrm{m}^2.$

2) [1 b]
Rovnou kalkulačka:
$10^5(0,\overline{25} - 0,2\overline{05}) = 10^5(0,0\overline{47}) \doteq 4750.$
Zlomky:
$0,\overline{25} = \frac{\frac{25}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{25}{99}$
$0,2\overline{05} = \frac{2}{10} + \frac{\frac{5}{1000}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{203}{990}$
$10^5\left(\frac{250 + 203}{990}\right) \doteq 4750.$

3) [1 b]
$\frac{5x - 6}{6} - \left(\frac{x}{6} - \frac{12x}{9}\right) = \frac{1}{18}\left(15x - 18 - 3x + 24x\right) = 2x - 1.$

4) [max. 3 b]
$\frac{4a - \frac{1}{a}}{4a + 2} = \frac{4a^2 - 1}{a(4a + 2)} = \frac{(2a - 1)(2a + 1)}{2a(2a + 1)} = \frac{2a - 1}{2a} = 1 -\frac{1}{2a}.$
$a \in \mathbb{R} \backslash \lbrace -\frac{1}{2} ; 0 \rbrace$

5) [max. 2 b]
$\frac{x - 1}{2} - 3\frac{x + 1}{6} < x$
$x - 1 - x - 1 < 2x$
$2x > -2$
$x > -1$
$x \in (-1;\infty)$

6) [1 b]
$3x(x + 1) = 9x^2$
$x_1 = 0$ ... můžu dělit $x$
$3x + 3 = 9x$
$x_2 = \frac{1}{2}$

7) [1 b]
$p: x = 2t, y = 4 + 3t, t \in \mathbb{R}$

Přes normálový vektor:
$\vec{u} = (2;3)$ ... koeficienty u parametrů
$\vec{n} = (3;-2)$ ... prohodíme souřadnice a u jedné změníme znaménko
$p: n_1 x + n_2 y + c = 0$
$p: 3x - 2y + c = 0$
Dosadíme $t = 0$ a dostaneme bod přímky $[0;4]$, dosadíme do obecné rovnice:
$p: 3\cdot 0 -2 \cdot 4 + c = 0$
$c = 8$
$\Rightarrow p: 3x - 2y + 8 = 0$

Přes směrnicový tvar:
$k = \tan \alpha = \frac{u_2}{u_1} = \frac{3}{2}$
Lineární člen $q$ určíme z bodu $[0;4]$, takže $q = 4$. Směrnicový tvar
$y = \frac{3}{2}x + 4$
ekvivalentními úpravami předěláme na tvar obecný.

Jako soustavu rovnic:
$x = 2t \rightarrow t = \frac{x}{2}$,
dosadíme do vztahu pro y
$y = 4 + \frac{3}{2}x$
a opět vše převedeme na levou stranu.

8) [max. 2b]
$A[-2;-1], C[-1;3], \vec{CB} = (2; -3)$
Souřadnice bodu B získáme přičtením vektoru k souřadnicím bodu C:
$b_1 = -1 + 2 = 1$
$b_2 = 3 - 3 = 0 \Rightarrow B[1;0]$
Pro souřadnice středu S strany AC platí
$s_1 = \frac{a_1 + c_1}{2} = -\frac{3}{2}$
$s_2 = \frac{a_2 + c_2}{2} = 1 \Rightarrow S[-\frac{3}{2};1]$

9) [max. 2 b]
Medián je hodnota uprostřed uspořádaného souboru, přesněji pro lichý počet prvků
$Med(x) = x_{\frac{n+1}{2}}$
a pro sudý počet
$Med(x) = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$.
Sečtením výšek sloupců zjistíme, že soubor má 25 prvků, medián je tedy hodnota třináctého členu, což je 1.
Aritmetický průměr:
$\overline{x} = \frac{7 \cdot 0 + 6 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{7 + 6 + 6 + 4 + 2} = \frac{38}{25} = 1,52$

10) [1 b]
$a_1 = 1; s_{40} = 1600$
Obecně
$s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$,
pro nás tedy
$1600 = \frac{40}{2}(1 + a_{40})$
$a_{40} = \frac{3200}{40} - 1 = 79$

11) [1 b]
$a_4 = \frac{11}{3}; a_6 = \frac{7}{3}$
$a_6 - a_4 = 2d = \frac{11 - 7}{3}$
$d = -\frac{2}{3}$
$a_5 = a_4 + d = \frac{11 - 2}{3} =  \frac{9}{3} = 3$

12) [max. 2 b]
$5^{x + 4} = \frac{25}{5^x}$
$5^{x +4} = 5^2 \cdot 5^{-x}$
$5^{x + 4} = 5^{2 - x}$
$x + 4 = 2 - x$
$x = -1$

13) [max. 2 b]
Výkon linky je $V$, $[V] = \mathrm{den}^{-1}$.
Pracuje 2 dny na 25%, 2 dny na 50%, den na 100%, celkem vyrobí 720.
$2 \cdot \frac{1}{4} V + 2 \cdot \frac{1}{2} V + V = 720$
$\frac{5}{2}V = 720$
$V = 288$
Za pět dní při plném výkonu tedy vyrobí
$5V = 1440$

14) [max. 3 b]
$c$ ... chlapci, $d$ ... dívky, $x$ ... družstvo
$c = 2d$
Chlapcům do družstva 12 přebývá, dívkám 1 chybí. Soustava
$x + 12 = c = 2d$
$x - 1 = d$
Druhou rovnici vynásobíme -1 a sečteme s první, dostaneme přímo
$d = 13$
V oddílu je tedy celkem $c + d = 2\cdot 13 + 13 = 39$ členů.

15) [max. 2 b]
V pravoúhlém trojúhelníku RPX určíme pomocí Pyth. v.
$x = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15 \mathrm{cm}$
V pravoúhlém RPQ opět P. v.
$p = \sqrt{(x + 33)^2 + 20^2} = \sqrt{48^2 + 20^2} = 52 \mathrm{cm}$

16) [max. 2 b]
$\cos 60° = \frac{1}{2}; \frac{b}{c} = \frac{1}{2}$ ... ANO (je pravoúhlý)
$\tan 60° = \sqrt{3}; \frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... NE
$\sin 30° = \frac{1}{2}; \frac{a}{c} = \frac{1}{2}$ ... ANO
$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ... ANO

17) [2 b] C
První troj. je tupoúhlý rovnoramenný, ortocentrum tedy leží vně (tzn. mimo obrazec).
Druhý troj. je ostroúhlý rovnoramenný, průsečík výšek leží uvnitř.
Třetí troj. je pravoúhlý, ortocentrum splývá s bodem u pravého úhlu a není tedy vně.
Čtvrtý troj. je opět tupoúhlý rovnoramenný.
... celkem 2 troj.

18) [2 b] E
Vrcholové úhly jsou shodné, tudíž
$2\pi - 2\beta = \beta + \frac{1}{3}$
$\beta = \frac{5}{9}\pi$

19) [2 b] D
$n = \frac{5}{x - 3}$
$x - 3 = \frac{5}{n}$
$x = \frac{5}{n} + 3$

20) [2 b] B
Ve válci platí
$v = V/S_p$,
kde $S_p$ je obsah podstavy. Dosazením
$v = \frac{600000 \mathrm{cm}^3}{14000 \mathrm{cm}^2} \doteq 42,86 \mathrm{cm}$
Voda dosahuje pouze 3/4 výšky, takže
$v' = \frac{3}{4} 42,86 \doteq 32 \mathrm{cm}$

21) [2 b] A
Protáhneme-li rovné části obalu, dostaneme rovnoramenný trojúhelník. Spustíme-li ze středu jedné z kružnic kolmice na obal, vytvoří paty kolmic, vrchol velkého trojúhelníku a střed kružnice deltoid s úhly 90°, 90°, 60° a $\alpha$. Součet úhlů čtyřúhelníku je 360°, takže $\alpha = 120°$. Kružnice jsou celkem tři, takže trojnásobným započítáním oblouku se středovým úhlem $\alpha$ dostaneme celou kružnici. Každá z rovných částí obalu má délku $2r$ (po zmíněném zakreslení kolmic by to mělo být zjevné z obdélníků, které v náčrtku vzniknou). Celkový obsah obalu je obvod krát výška, takže
$S = v(3 \cdot 2r + 2\pi r) \doteq 479 \mathrm{cm}^2$

22) [2 b] B
Kód má celkem pět míst, z toho první a poslední je pevně dané - zajímají nás tedy pouze 3 místa. Dále je dáno, že číslice musí být různé - po použití číslic 8 a 5 jich zbývá už pouze osm. Jedná se tedy o variaci bez opakování třetí třídy z osmi prvků:
$V(3;8) = \frac{8!}{(8 - 3)!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

23) [2 b] C
Z 25 žáku je 10 připravených, učitel losuje 5. Ptají se nás na prvního vylosovaného žáka, údaj o celkovém počtu losovaných je tudíž nepodstatný. Pravděpodobnost, že bude první žák připraven, že počet připravených ku celkovému počtu, tedy
$P = \frac{10}{25} = 0,4$

24) [2 b] E
$a_2 = 2$
$a_2 a_3 = 6$
Třetí člen zapíšeme jako $a_3 = a_2 q$, takže
$a_2^2 q = 6$
$q = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
Vylučovací metodou:
$a_1 = \frac{a_2}{q} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ ... správně
$a_1 q = a_2 = q$ ... správně
$a_2 q = a_3 = \frac{6}{a_2} = 3$ ... správně
$a_3 = a_2 q = 3$ ... správně
$\frac{a_3}{q} = a_2 = 2$ ... v zadání je $\frac{4}{3}$, takže špatně

25) [max. 4 b] B, F, D, A
Tohle je myslím zjevné, jen pro pořádek: koeficient lineárního členu určuje sklon (tangens, derivace), absolutní člen určuje posun po ose y - stačí tedy odečíst z grafu hodnotu funkce v x=0.

26) [max. 3 b] A, C, D
$(a^{-1} \cdot a^2)^3 = (a^{-1 + 2})^3 = a^{1 \cdot 3} = a^3$
$\left(\frac{a^{-4}}{a^{-1}}\right)^{-2} = (a^{-4 - (-1)})^{-2} = a^{-3 \cdot (-2)} = a^6$
$\sqrt{a^4 \cdot a^{12}} = (a^{4+12})^{\frac{1}{2}} = a^{16 \cdot \frac{1}{2}} = a^8$


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#2 02. 05. 2013 17:59

Hawkey1234
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

U 26.2. správný postup, ale místo B, má být C..jinak krása, dostáváš zlatýho bludišťáka :)

Offline

 

#3 02. 05. 2013 18:02 — Editoval MirekH (02. 05. 2013 18:03)

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ Hawkey1234:
Díky, opraveno.

Btw, u psaní úvodního příspěvku jsem pochopil, proč bylo na test 90 minut: Zadavatelé mysleli, že to studenti budou psát v TeXu.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#4 02. 05. 2013 18:13

Hawkey1234
Zelenáč
Příspěvky: 15
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Ber v úvahu to, že maturitu skládají i slabší žáci a pro ně je i těch 90 minut málo..no a o stresu ani nemluvím :)

Offline

 

#5 02. 05. 2013 18:14

tommmic
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: SŠE Lipník nad Bečvou
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Zdravím,
měl bych dotaz. Vím, že maturity neopravujete, ale u příkladu číslo 5 jsem uvedl jen že x > -1 ,ale na množinu jsem zapomněl. Myslíte si, že mi uznají za 2 body či jen za 1 bod?

Offline

 

#6 02. 05. 2013 18:21 — Editoval bejf (02. 05. 2013 18:22)

bejf
Místo: Kolín
Příspěvky: 922
Reputace:   55 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ tommmic:
Měla by být uznána i ta podmínka, která říká naprosto to samé. Zadání neříká, aby výsledek byl zapsán intervalem.

Offline

 

#7 02. 05. 2013 18:22

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ tommmic:
V zadání není výslovně uvedeno, že by řešení mělo být vyjádřeno pomocí intervalu. Odpověď x > -1 je tedy dle mého názoru postačující, nicméně za Cermat neručím.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#8 02. 05. 2013 18:26

ibby7321
Zelenáč
Příspěvky: 6
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Ahoj, mohl bych tě prosim poprosit, jestli bys jen nevypsal počet bodů, pokud mužeš, k těm úlohám. Jen abych věděl jestli mám za 1 nebo za 2.

Stačí to takhle např.:
1.1
2.1
.
.
.
14.3
.
.

Offline

 

#9 02. 05. 2013 18:27

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ tommmic:
No pokud bych hodnotil já (jakože nehodnotím) dal bych plný počet bodů.
Podle mne je:
$x\,>\,-1$ stejné jako $x\in(-1;\,\infty)$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#10 02. 05. 2013 18:30

wolfito
Příspěvky: 637
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ ibby7321:
Bodovaní máš v zadaní na www.novamaturita.cz


Radost z uvažování a z chápání je nejkrásnějším darem přírody.

Offline

 

#11 02. 05. 2013 18:32

ibby7321
Zelenáč
Příspěvky: 6
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ wolfito: Díky moc.

Offline

 

#12 02. 05. 2013 18:39

azas605
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Zdravím jenom mám dotaz u úlohy číslo 16.2 a 16.4 jsou stejné výsledky a to $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ale jednou je to není pravouhlý trojuhelník a podruhé je co je správně?

Offline

 

#13 02. 05. 2013 18:43

JanS1
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Díky moc za řešení.
Jen u příkladu 5 bych se chtěl zeptat zda se u druhého zlomku nemůže jednat o smíšené číslo.
Předem děkuji za reakci.

Offline

 

#14 02. 05. 2013 18:46

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ azas605:
Jde o to, zda se hodnota goniometrické funkce shoduje s poměrem stran, který by měla vyjadřovat. Tangens je protilehlá strana ku přilehlé, takže $\tan \alpha = a/b$. V části 4 tangens 30° skutečně odpovídá poměru stran, ale v části 2 se jedná o tangens 60° a tyto dvě hodnoty jsou pochopitelně různé.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#15 02. 05. 2013 19:01

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ JanS1:
V pátém příkladě se mi při přepisování jaksi ztratil jmenovatel (opraveno). Nicméně se nedomnívám, že by se mohlo jednat o smíšené číslo - to by myslím nemělo obsahovat proměnné, tj. mělo by jít přímo o konkrétní číslo, ne algebraický výraz.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#16 02. 05. 2013 19:04

Patas25
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Hodně pěkně udělané výsledky, teď snad každý pozná na čem je. A nyní přijde popřát podobné či lepší úspěchy i při ostatních zkouškách.

Offline

 

#17 02. 05. 2013 19:21

kadedemon
Příspěvky: 135
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Zdravím Vás,

Mohl by mi někdo upřesnit ten příklad tři?
Já ho počítal a nějak mi to stále nevychází, kdyby jste byl někdo podrobnější.

Offline

 

#18 02. 05. 2013 19:22

kadedemon
Příspěvky: 135
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ MirekH:Zdravím Vás,

Mohl by mi někdo upřesnit ten příklad tři?
Já ho počítal a nějak mi to stále nevychází, kdyby jste byl někdo podrobnější.

Offline

 

#19 02. 05. 2013 19:24

Peta8
Fyzikář
Příspěvky: 650
Reputace:   24 
Web
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Dobrý den, také si dovolím přispět s trochou do mlýna.


http://www.nabla.cz/obsah/matematika/st … t-2013.php

Offline

 

#20 02. 05. 2013 19:32

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ kadedemon:
$\frac{5x - 6}{6} - \left(\frac{x}{6} - \frac{12x}{9}\right)$
Nejdříve se zbavíme závorek:
$\frac{5x - 6}{6} - \frac{x}{6} + \frac{12x}{9}$
Potom převedeme na společný jmenovatel 18. Čitatele prvních dvou zlomků tedy budeme násobit třemi a čitatele posledního zlomku dvěma:
$\frac{15x - 18}{18} - \frac{3x}{18} + \frac{24x}{18}$
Nyní můžeme vše zapsat jako jeden zlomek:
$\frac{15x - 18 - 3x + 24x}{18}$
Členy s proměnnou x v čitateli sečteme:
$\frac{36x - 18}{18}$
Oba členy v čitateli jsou dělitelné beze zbytku jmenovatelem, výraz můžeme upravit do finálního tvaru
$2x - 1$.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#21 02. 05. 2013 19:38

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ Peta8:
Moc pěkné. Dám odkaz na začátek prvního příspěvku, ať má člověk možnost porovnat různé způsoby řešení (i když se v zásadě příliš neliší).


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

#22 02. 05. 2013 19:38

biologista
Zelenáč
Příspěvky: 1
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

Dobrý den, mohu vznést dotaz?
V tom čtvrtém příkladu jsem nedošla s úpravami tak daleko - došlo jsem do té předposlední úravy - s tím zlomkem. Myslíte, že to je chyba? A ještě jeden dotaz, ve škole jsme zvyklí psát podmínky řešitelnosti jako x se nesmí rovnat nějakému číslu a ne x leží v R a odečteme od něj interval, ve kterém ležet nemá. A poslední dotaz, zapomněla jsem do podmínek řešitelosti uvést tu nulu. Když za celý tento příklad jsou 3 body, myslíte, že mám šanci alespoň na 2? Budu mít totiž pravděpodobně na rozmezí známku a ráda bych tu lepší. :D

Offline

 

#23 02. 05. 2013 19:41

kamtar
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

tu obecnou rovnici jsem neřešil přes normálový tvar nebo tangens. Ale přímo z toho zadání.
x=2t => t=x/2
y=4+(3/2)x => (3/2)x-y+4=0

Je to dobře a nebo jsem náhodou narazil na příklad kde to jenom náhodou vyšlo správně?

Offline

 

#24 02. 05. 2013 19:43

Copyright
Zelenáč
Příspěvky: 1
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

To já zase uvedl jen jednu podmínku že a se nesmí rovnat -0,5 a nic jiného,příklad jsem nevypočítal ,je to aspon za bod ? :D

Offline

 

#25 02. 05. 2013 19:45

MirekH
Moderátor
Příspěvky: 288
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   16 
 

Re: Řešení maturity jaro 2013 s postupy (neoficiální)

↑ biologista:
Dobrý den,
poslední úprava pravděpodobně hodnocena nebude, zápis ve tvaru $x \neq \cdots$ by měl v pořádku. Opomenutí nuly v podmínkách řešitelnosti už je ovšem chyba, takže bych počítal spíše s 2 body.


ŘEŠTE FYKOS!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson