Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 03. 2015 15:33 — Editoval FliegenderZirkus (03. 03. 2015 15:39)

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Odvození rovnice klotoidy

Ahoj,

chtěl bych si odvodit rovnice klotoidy, tedy rovinné křivky, jejíž křivost je přímo úměrná délce oblouku od zvoleného počátku.

Řekněme, že kartézské souřadnie jsou
$\binom{x(t)}{y(t)}$.
Dosadil jsem vzorečku na Wikipedii
$R=\frac{A^2}{L}$
za poloměr křivosti
$R(t) = \frac{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}{x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)}$
a za délku oblouku
$L(t) = \int _0 ^t \sqrt{x'(\tau)^2+y'(\tau)^2} \ d\tau$,
dohromady tedy
$A^2 = \frac{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}}{x'y'' - y'x''} \cdot \int _0 ^t \sqrt{x'(\tau)^2+y'(\tau)^2} \ d\tau$.

Teď bude nejspíš potřeba argumentovat parametrizací pomocí délky oblouku, čímž se rovnice zjednodušší. Poradíte prosím jak to udělat „rigorózně“? :) Díky

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FliegenderZirkus)

#2 04. 03. 2015 22:59

Sergejevicz
Příspěvky: 581
Škola: Mgr. mat. a fyz. modelování na MFF UK v r. 2014
Pozice: výpočtář
Reputace:   21 
Web
 

Re: Odvození rovnice klotoidy

Vím, že klotoidu (Cornuovu spirálu) parametrizují tzv. Fresnelovy (čti "Frenelovy") integrály.
Něco je třeba tady:

http://www.google.cz/url?sa=t&rct=j … mp;cad=rja

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral


Kopáček: Mat. anal. nejen pro fyziky, Veselý: Zákl. mat. anal., Bečvář: Lin. alg., Matfyzpress
Bican: Lin. alg. a geom., Academia

Offline

 

#3 05. 03. 2015 13:22 — Editoval Brano (05. 03. 2015 14:16)

Brano
Příspěvky: 2543
Reputace:   219 
 

Re: Odvození rovnice klotoidy

ja by som na to isiel takto:

najprv si mozme uvedomit, ze krivku mozeme vzdy parametrizovat jej dlzkou - $s$ (pocitanou od nejakeho bodu)
potom sa nam zjednodusi aj polomer krivosti

$R(s)=\frac{1}{|x'y''-y'x''|}$ a prava strana je $\frac{A^2}{s}$ teda mame rovnicu
$x'y''-y'x''=\frac{\pm 1}{A^2}s=2ps$ kde $p$ je nejaka nova konstanta no a este to, ze $s$ je dlzka znamena
$x'^2+y'^2=1$

oznacme si $u=x'$ a $v=y'$ cize mame dve rovnice
$uv'-vu'=2ps$ a $u^2+v^2=1$ - co nas nabada prejst k polarnym suradniciam $u(s)=r(s)\cos\varphi(s)$ a $v(s)=r(s)\sin\varphi(s)$. dosadenim do druhej rovnice dostaneme $r=1$ a potom z prvej rovnice dostaneme
$\varphi'=2ps$ cize $\varphi = ps^2$ teda mame

$x'=\cos(ps^2)$ a $y'=\sin(ps^2)$ a teda

$x(s)=x_0+\int_0^s\cos(pt^2)dt$ a $y(s)=y_0+\int_0^s\sin(pt^2)dt$

Offline

 

#4 12. 03. 2015 12:32 — Editoval FliegenderZirkus (12. 03. 2015 12:33)

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Odvození rovnice klotoidy

Děkuju za reakce, pomohly mi. Nakonec jsem ale přeci jen použil to běžnější odvození přes vyjádření křivosti jako derivace úhlu tečného vektoru podle parametru. Pro zajímavost posílám vlastní obrázek, jak je část klotoidy použitá jako přechodnice mezi přímou železniční tratí a kružnicovým obloukem:

//forum.matematika.cz/upload3/img/2015-03/59781_Clipboard01.png

Offline

 

#5 12. 03. 2015 16:30 — Editoval Brano (12. 03. 2015 16:36)

Brano
Příspěvky: 2543
Reputace:   219 
 

Re: Odvození rovnice klotoidy

to je v skutocnosti (teda aspon podla mna) to iste - cela "pointa" mala byt v tom, ze pouzijes dlzku ako parameter podla ktoreho derivujes

a potom ci uz mas krivost $\left|\frac{dT}{ds}\right|$ alebo $\left|T\times\frac{dT}{ds}\right|$ je uz tak trochu jedno (to druhe co som pouzil ja sice na prvy pohlad vyzera zbytocne komplikovanejsie, ale ma to svoje vyhody) a v tomto konkretnom pripade sa mi zda ze ked sa to rozmeni na drobne, tak je obtiaznost vypoctu rovnaka

PS: obrazok je pekny, a preco vlastne v pouzivas klotoidu ako prechod, ma to nejake prakticke vyhody? aby dostredive zrychlenie narastalo linearne?

Offline

 

#6 12. 03. 2015 16:50

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Odvození rovnice klotoidy

Rozumím, jj bude to nakonec velmi podobné.

Je to jak píšeš -- hlavní výhodou je odstranění nespojitosti v průběhu křivosti, a tedy i v průběhu dostředivého zrychlení. Historicky se používaly různé tvary té přechdnice, např. polynom třetího stupně. Dneska je myslím nejběžnější právě klotoida, i když existují i další modernější řešení. Druhý důvod je pak ten, že vnější kolej v oblouku bývá vůči té vnitřní vyvýšená (klopená zatáčka) a tohle vyvýšení je potřeba nějak plynule zavést, k čemuž se právě taky ta přechodnice používá.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson