Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 12. 2007 20:34

Saturday
Einstein
Příspěvky: 813
Škola: MFF UK
Reputace:   
Web
 

Integrál - obecná platnost

$\int \frac{1}{x^2+1} \, dx=C+\arctan(x)=C_1-\text{arccot(x)}$

Našel jsem tento vzoreček v tabulkách, ale jedna věc mě u toho zaráží.. Je pravda, že pokud přičtu k -ArcCotg(x) určitou konstantu, tak dostanu ArcTan(x), ovšem ta konstanta, kterou musím přičíst je, když se podívám na graf, v R+ je jiná než v R-. Znamená to, že ten vzorec platí, ale jen pokud se to rozdělí na intervaly (R+ a R-)? (teoreticky by pak mohly být nějaké problémy v určitých integrálech..)

Děkuju za odpověď


Lasciate ogni speranza. | Podílí se na Encyklopedii Fyziky (http://fyzika.jreichl.com) | Oblíbený IT projekt http://online-domain-tools.com

Offline

 

#2 16. 12. 2007 21:45

robert.marik
Einstein
Příspěvky: 999
Reputace:   
 

Re: Integrál - obecná platnost

Nerozumím dotazu. Vzorec platí pro libovolné reálné x a na celém intervalu od minus nekonečna do nekonečna.

arctan x + acrcotg x=pi/2 tj C_1=C+pi/2

Offline

 

#3 16. 12. 2007 21:50

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Integrál - obecná platnost

První rovnítko je vzorce je v pořádku na celém r, funkci arctg(x)+C lze použít na počítání určitých integrálů bez problémů. Druhé rovnítko je v pořádku pouze na R+ a na R-, protože arccotg nemá v 0 derivaci. Pokud bys proto počítal určitý integrál pomocí druhého vzorce na intervalu [-a,b], musel bys ho spočítat zvláš? na intervalu [-a,0] a na [0,b] a výsledky sečíst (a a b jsou zde kladná čísla).

@robert.marik:bohužel ne, na kladných je to pi/2, na záproných -pi/2


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#4 16. 12. 2007 22:08

Saturday
Einstein
Příspěvky: 813
Škola: MFF UK
Reputace:   
Web
 

Re: Integrál - obecná platnost

@Kondr: Děkuju, zvedlo mi to náladu :-)


Lasciate ogni speranza. | Podílí se na Encyklopedii Fyziky (http://fyzika.jreichl.com) | Oblíbený IT projekt http://online-domain-tools.com

Offline

 

#5 16. 12. 2007 23:47 — Editoval robert.marik (16. 12. 2007 23:51)

robert.marik
Einstein
Příspěvky: 999
Reputace:   
 

Re: Integrál - obecná platnost

Hm, asi záleží na tom, jak se to bere. CAS Maple definuje arkuscontengens jako funkci inverzní k funkce cotangens na intervalu 0 až pi, potom je arkuscotangens v nule spojitý a má tam i derivaci a ten vzorec platí pro všechna R.

CAS Maxima definuje arkucotangens jako inverzni funkci k funkci contangens na intervalu -pi/2, pi/2. Potom to je tak jak pisou Saturday a Kondr.

NEvedel jsem ze jsou mozne oba pristupy, my jsme vzdycky pouzivali ten prvni. Tak jsem se ted divil, ale je to tak. Nemam po ruce treba Rektoryse abych se kouknul jak je to tam. Vlastne tu nemam zadnou knizku, ale aspon ten Maple dava za pravdu me, Maxima Saturdayovi a Kondrovi.

Odkaz http://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html rozebira podrobne, ze jsou dve moznosti jak definovat arkuscotangens. Takze diky za upozorneni :)

Offline

 

#6 22. 06. 2009 14:44 — Editoval jelena (22. 06. 2009 14:59)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29845
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Integrál - obecná platnost

Zdravím,

navazuji na téma a prosím o doplnění - jak má postupovat kolega, když dostane vyšetření takového průběhu funkce?:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=63008#p63008

viz debata, co se rozproudila v odkazovaném tématu. Děkuji :-)

Edit: Rektorys z roku 1973 má přesně to, co wikipedie, Bartsch z roku 1996 také a píše, že inverze se děla grafu goniometrických funkcí na intervalech, kde jsou ryze monotonni a které obsahuji počátek O.

Offline

 

#7 22. 06. 2009 16:19

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Integrál - obecná platnost

PlanetMath a Vojtěch Jarník se shodují na tom, že by to mělo být v $(0; \pi)$.

Zatím jediný, kdo tvrdí opak, je Wolfram (Mathematica) a Maxima.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#8 23. 06. 2009 00:10

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29845
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Integrál - obecná platnost

↑ Olin:

Děkuji za doplnění a zdravím :-)

Offline

 

#9 23. 06. 2009 00:31 — Editoval Olin (23. 06. 2009 00:32)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Integrál - obecná platnost

Také zdravím :-)

Aby to ale nebylo tak jednoduché - jiná autorita, Abramowitz and Stegun, souhlasí prozměnu s Wolframem. Teda pokud jsem se správně zorientoval v tom mrňavém grafu se spoustou funkcí :-)


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#10 23. 06. 2009 00:37 — Editoval jelena (23. 06. 2009 10:51)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29845
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Integrál - obecná platnost

↑ Olin:

To jsem proluštila ještě z příspěvku ↑ robert.marik: - že jsou 2 názory a i v odkazovaném textu jsem to našla. Půjdu se podívat ještě na Východ - doplním:

také tak - spojitá verze pro obor hodnot od 0 do pi je vyznačena jako hlavní možná, pak jsou zakreslené pasy se spojitou hodnotou pro další periody.

Kniha z Odessy z roku 1910 o této problematice nepojednává (tomu bych ovšem věřila nejvíce).

Ještě toto: http://eom.springer.de/

------
editace: opravila jsem si pěknou hrubku ("z příspěvku", ne "s příspěvku" - čárky a háčky ve slovech - to už neovlivním, ale toto by byla hrůza)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson