Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#251 13. 01. 2019 16:40

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem.   
Problem(55)
Vysetrite rad vseobecneho clenu
$u_n=\frac {a-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}{(n+1)-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}$ ; $a$ realne parameter.

Mozme sa inspirovat aj navodom, ktory som dal v probleme (53).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#252 13. 01. 2019 19:11 — Editoval krakonoš (13. 01. 2019 19:28)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Na jmenovatele použijeme vzorec pro rozdíl čtverců.
Dále  roznásobíme závorky v čitateli a rozdělíme výraz na čtyři zlomky
$\frac{(n+1)\cdot a}{n^{2}+n}+\frac{(-1)^{n+1}\cdot a\cdot \sqrt{n+1}}{n^{2}+n}-\frac{n+1}{n^{2}+n}\cdot (-1)^{n+1}\cdot \sqrt{n+1}-\frac{n+1}{n\cdot (n+1)}$. Následně sloučíme první člen s posledním ve člen$\frac{a-1}{n}$.
Dostaneme tak pro $a\not =1$ člen harmonické řady.Zbývající dva výrazy jsou členy konvergentních řad podle Leibnizova kriteria.Takže zadaná řada pro $a\not =1$ diverguje, a pro $a=1$ konverguje.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#253 13. 01. 2019 19:54

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
To je tiez mozne dobre riesenie. 
Tiez sa daju  pozuit vhodne rozvoje. 

A aj mozme vyuzit, ze pre $ v_n =-\frac {(-1)^{ n+1}}{\sqrt {n+1}}$ je
$u_n-v_n=\frac {a-1}{(n+1)-(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}}= 
\frac {a-1}{(n+1)(1-\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}$
je konstantneho znamienka a ekvivalentna z $\frac{a-1}{n +1}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#254 13. 01. 2019 21:49 — Editoval krakonoš (13. 01. 2019 21:52)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Také dobré řešení.Ono vlastně stačí nahradit tu poslední závorku ve jmenovateli např 2,dostaneme divergentní řadu, která je menší než tato.  Nebo vzít limitu té závorky t.j. 1, takže řada nemůže konvergovat, protože nekonverguje a-1/n+1 - podle Abelova kritéria


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#255 14. 01. 2019 17:30 — Editoval vanok (14. 01. 2019 17:31)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pripomeniem tento problem ( dal som ho uz davno na fore, no neviem nast kde je).
Problem(56*)
Vysetrite rad ktoreho vsebecny clen je $\frac {(-1)^n}{\sqrt {n+(-1)^n}}$

Je zaujimave sa nad nim zamysliet.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#256 14. 01. 2019 23:51

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pripomenienka : problem 54 nie je este vyrieseny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#257 15. 01. 2019 11:50

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Tady by asi stačilo vytknout mínus a čitatele umocnit na n+1.Řadu rozepíšeme a dáme vždy do závorky dva členy-tak jak jdou po sobě.
Zároveň si rozepíšeme řadu$\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ a uzávorkujeme po dvou členech.
Součty v závorkách jsou u obou řad stejné.Zadaná řada by tedy měla konvergovat.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#258 15. 01. 2019 22:54 — Editoval vanok (15. 01. 2019 23:02)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Dobre, mozes podrobne napisat tvoju metodu pre foristov, co takto ucinne studuju.   

Pripominam, ze som pouzil na toto cvicenie, ze
$\frac {(-1)^n}{\sqrt {n+(-1)^n}}=\frac {(-1)^n}{\sqrt n})(1+\frac {(-1)^n}n) ^{-\frac 12}=\frac {(-1)^n}{n}-\frac 1{2n\sqrt n}+O(\frac 1 {n\sqrt n})$ co zarucuje konvergenciu radu.

Mala doplnujuca uvaha. 
Ako to je z radom vseobecneho clenu
$\frac {(-1)^n}{\sqrt {n^a+(-1)^n}}$, a realny parameter ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#259 16. 01. 2019 00:34 — Editoval krakonoš (16. 01. 2019 01:08)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
No,když to tak narychlo zkouším,připadá mi na první pohled,že pro a větší jak nula se daří dodržet pravidlo klesající funkce pro Leibnizovo kriterium (ten vytknutý člen).Pro a rovno nule to nedává vůbec smysl (dělení nulou)a v ostatních případech nebude limita zbytku rovna nule např pro a mínus jedna ta limita neexistuje a tak to bude asi i v dalších případech-kazí to tam to minus jedna  na ntou pod odmocninou.
Měj se hezky.Musím dělat ještě spoustu jiných věcí.Poslední dobou se mi to nějak nakupilo!✋


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#260 16. 01. 2019 03:48 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
Ked pouzijes metodu co som pouzil, mas okamzite :
Pre $ a>\frac 23$ rad konverguje a inac je divergentny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#261 16. 01. 2019 03:56 — Editoval vanok (16. 01. 2019 03:57)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑↑ Bati:,
Tvoj problem(54)  zatial nikoho neoslovil. 
Moja myslienka je urobit ako prve Taylor-Young-ov rozvoj dostatocneho radu tvojej implicitnej fonkcie $f$
Je to tak aj v tvojom rieseni.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#262 16. 01. 2019 16:03

jardofpr
Příspěvky: 1241
Reputace:   88 
 

Re: Limitny maraton

ahojte

vravím si že sa zapojím netradične, problém (54) som skúsil pomocou vety o implicitnej funkcii a l'Hospitalovho pravidla

funkcia $g(x,y)=\mathrm{e}^xy^2+\mathrm{e}^yx^2-y$ je nekonečne diferencovateľná
takže bude aj implicitná funkcia $f$ taká že $g(x,f(x))=0$ na vhodnom okolí bodu $x=0$

predpoklady vety o implicitnej funkcii sú splnené takže bude $f(0)=0$ a zároveň je $\lim_{x\to 0}f(x) = 0$

z derivácie rovnice $g(x,y)=0$   sa dostane  $(f'(x) =)\,\, y' = -\frac{\mathrm{e}^xy^2+2\mathrm{e}^yx}{2\mathrm{e}^xy+\mathrm{e}^yx^2-1}$   a   teda  aj  $\lim_{x\to 0 }f'(x)=0$

z derivácie rovnosti pre $y'$   sa dostane  škaredý zlomok  ako vyjadrenie pre $y''$, ktorý pre $(x,y)=(0,0)$ dáva $y''(0)=2$

z toho všetkého je potom $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{2}=\frac{y''(0)}{2}=1$   ak som niekde neurobil chybu

čo by ma zaujímalo je nejaké krajšie riešenie než toto drevorubačské

Offline

 

#263 16. 01. 2019 17:03

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: Limitny maraton

↑ jardofpr:
Jestli existuje elegantnejsi reseni nevim, moje je stejne (priklad jsem tak konstruoval). Zaverecna cast se muze udelat nekolika zpusoby (L'Hospital, Taylor, aritmetika limit)

Offline

 

#264 18. 01. 2019 18:08 — Editoval vanok (18. 01. 2019 18:09)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,

Problem (57)
Vysetrite rad vseobecneho clenu $u_n=\frac {na^n}{(n+3)!}$, kde $a$ je realne cislo. 
Aka je jeho suma pre $a=1$?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#265 18. 01. 2019 18:41

laszky
Příspěvky: 1929
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Pozdravujem.

Offline

 

#266 18. 01. 2019 20:01 — Editoval vanok (18. 01. 2019 20:27)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Tu Servus ↑ laszky:,
Vyborne aj ked sa to da urobit o mnoho rychlejsie


Akurat na tu prvu otazku, by som pridal, ze:   Ten rad konverguje pre kazde $a$ ( kazdy najde vhodny test na to).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#267 18. 01. 2019 20:19

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem,
Hned pridavam dalsi

Problem (58)
Nech $f$ je funkcia definovana na inrervalle $[-1;1]$ taka, ze $f(0)=0$ a ze je dérivabilna v bode $0$.  Nech $p$, je prirodzene nenulove cislo, urcite $\lim_{n \to \infty}  \sum_{i=n}^{pn}f(\frac 1i) $


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#268 19. 01. 2019 17:19 — Editoval vanok (20. 01. 2019 08:41)

vanok
Příspěvky: 14130
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Problem 58,
Hint 1. 


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#269 19. 01. 2019 19:15 — Editoval jardofpr (19. 01. 2019 19:17)

jardofpr
Příspěvky: 1241
Reputace:   88 
 

Re: Limitny maraton

ahoj ↑ vanok:

pekné cvičenie

môj pokus

Offline

 

#270 24. 01. 2019 19:36

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem (60) Evaluation of $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{x^{x^{x^{x}}}}-x^{x^{x^{x}}}}{(1-x)^5}.$

Offline

 

#271 24. 01. 2019 22:47 — Editoval krakonoš (24. 01. 2019 23:23)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

..


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#272 24. 01. 2019 23:01

jardofpr
Příspěvky: 1241
Reputace:   88 
 

Re: Limitny maraton

ahoj ↑ krakonoš:

pozor $x^{x^{x^{x^x}}}\neq \mathrm{e}^{x^4\ln{x}}$

Offline

 

#273 24. 01. 2019 23:24

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ jardofpr:
Diky.Uz chapu jak to bylo mysleno.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#274 25. 01. 2019 13:19

jardofpr
Příspěvky: 1241
Reputace:   88 
 

Re: Limitny maraton

hi ↑ stuart clark:

one of the possible ways to problem (60)

Offline

 

#275 25. 01. 2019 13:26 — Editoval krakonoš (25. 01. 2019 13:29)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ jardofpr:
Ahoj.
Zkoušela jsem si pro zajímavost ten případ kdy je x umocněno na xnaxtou.
Vyšla jsem z toho,že $\lim_{x\to1}\frac{x^{x}-x}{(1-x)^{2}}=1$  a s využitím této informace spočítat $\lim_{x\to1}\frac{x^{x^{x}}-x^{x}}{(1-x)^{3}}$.Vyšla mi -1.Takže už zde vidím jistou stabilitu při porovnání s odpovídajícím polynomem (že by se mohly chovat stejně).Jedině se mi změnilo to znaménko, jestli jsem se nespletla ovšem.Takže zadaná limita by mohla být -1,pokud by docházelo k střídání znamének .
Koukám,že jsme se shodli jak časově tak na výsledku.To se mi ještě nestalo.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson