Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#351 05. 05. 2019 09:23 — Editoval krakonoš (05. 05. 2019 09:26)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:
Problem(74)
Ahoj.
V tomto případě stačí použít L'Hospitalovo pravidlo, případně postup pro výpočet limity ,označme ji L

$L1=\lim_{x\to0}(\frac{\frac{1}{8}\cdot log(1+x)}{x}\cdot \frac{e^{\frac{1}{8}\cdot log(1+x)}-1}{\frac{1}{8}log(1+x)})$
$L2=\lim_{x\to0}(\frac{\frac{1}{8}\cdot log(1-x)}{x}\cdot \frac{e^{\frac{1}{8}\cdot log(1-x)}-1}{\frac{1}{8}log(1-x)})$
$L=L1-L2$
Při výpočtu $\lim_{x\to0}\frac{log(1-x)}{x}$ lze použít porovnání logaritmu vůči x s inverzní funkcí logaritmu vůči x t.j.$\lim_{x\to0}-\frac{e^{x}-1}{x}$
$L=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#352 05. 05. 2019 09:48 — Editoval stuart clark (05. 05. 2019 09:58)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks Vanok.

For $(74)$ Using $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^n\approx 1+nx$

So $L= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{8}}-(1-x)^{\frac{1}{8}}}{x}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.$


Problem $(75)\;\; \lim_{x\rightarrow 0}\bigg(e^{-2018}\cdot (1+x)^{\frac{2018}{x}}\bigg)^{\frac{2019}{x}}$

Offline

 

#353 05. 05. 2019 10:42

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Problem (75)
Hi Stuart Clark
$L=\lim_{x\to0}e^{\frac{-2018\cdot 2019}{x}+\frac{2018\cdot 2019\cdot log(1+x)}{x^{2}}}$

$\lim_{x\to0}\frac{-x+log(1+x)}{x^{2}}=-\frac{1}{2}$ ( from Taylor function log())
$L=e^{-2037171}$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#354 05. 05. 2019 11:00

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ krakonoš:

Problem $(76)\;$ If $\displaystyle \alpha_{n}\in \bigg(0,\frac{\pi}{4}\bigg)$ is the root of the equation $\tan \alpha+\cot \alpha = n, n\geq 2.$

Then value of $\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\sin \alpha_{n}+\cos \alpha_{n}\bigg)^{n}$

Offline

 

#355 05. 05. 2019 19:49 — Editoval krakonoš (05. 05. 2019 20:22)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark
Problem(76)
That's just my fast=paced assault.
$tan \alpha _{n}+cot\alpha _{n}=\frac{2}{sin2\alpha _{n}}=n$
$n\Rightarrow \infty \Leftrightarrow  \alpha _{n}\Rightarrow 0$
$\lim_{n\to\infty }(sin\alpha _{n}+cos\alpha _{n})^{n}=$$\lim_{\alpha _{n}\to0}(tg\alpha _{n}+1)^{\frac{2}{sin2\alpha _{n}}}$$=\lim_{\alpha _{n}\to0}e^{\frac{2}{sin2\alpha _{n} }\cdot log(1+tg\alpha _{n})}$
$\lim_{\alpha _{n}\to0}\frac{2\cdot log(1+tg\alpha _{n})}{sin2\alpha _{n}}=$$\lim_{\alpha _{n}\to0}\frac{2\cdot tg\alpha _{n}}{2\alpha _{n}}=1$

$\lim_{n\to\infty }(sin\alpha _{n}+cos\alpha _{n})^{n}=e$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#356 06. 05. 2019 08:34 — Editoval stuart clark (08. 05. 2019 13:38)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ krakonoš:

My solution is almost same except last $2$ lines

From $\tan \alpha_{n}+\cot \alpha_{n} = \frac{2}{\sin 2 \alpha_{n}}=n\Rightarrow \sin 2\alpha_{n}=\frac{2}{n}$

And $\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(\sin \alpha_{n}+\cos \alpha_{n}\bigg)^{2\cdot \frac{n}{2}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(1+\frac{2}{n}\bigg)^{\frac{n}{2}}=e.$

Problem $(77)$ Finding $\lim_{x\rightarrow 0}\bigg(2x^{-3}\bigg(\arcsin(x)-\arctan(x)\bigg)\bigg)^{\frac{2}{x^2}}$

without using series expansion and D L Hopital Rule

Offline

 

#357 06. 05. 2019 12:33 — Editoval krakonoš (07. 05. 2019 15:59)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Problem( 77)
Hi Stuart Clark
Internal function limit is
$\lim_{x\to0}2x^{-3}\cdot \frac{(\frac{arctgx}{x}-\frac{arcsinx}{x})\cdot x}{(\frac{arcsinx}{x}\cdot \frac{arctgx}{x}\cdot x^{2})}$
I think,It's the similar situation as
$\lim_{x\to0}2x^{-3}\cdot \frac{(\frac{-tgx}{x}+\frac{sinx}{x})\cdot x}{(\frac{sinx}{x}\cdot \frac{tgx}{x}\cdot x^{2})}$$=\lim_{x\to0}\frac{2\cdot (cosx-1)}{x^{4}}=\lim_{x\to0}\frac{-1}{x^{2}}$
I am afraid that the given limit won't exist.
There is the same problem (it is negative).


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#358 08. 05. 2019 12:25 — Editoval stuart clark (08. 05. 2019 12:29)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thnaks ↑ krakonoš: may be you have missed something

By series expansion of the arcsine and arctangent,
So we get
$\arcsin x-\arctan x = \frac12x^3 - \frac18 x^5 + o(x^5) $

So we have

$ \lim_{x\to 0} [1-\tfrac14x^2+o(x^2)]^{2/x^2} = \lim_{x\to 0} e^{\left(\frac{2}{x^2}\log(1-\tfrac14x^2+o(x^2))\right)}$

$\lim_{x\to 0} e^{\left(\frac{2}{x^2}\bigl(-\tfrac14x^2+o(x^2)\bigr)\right)} = e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}.$

But i am unable to solve it without series exp.

Offline

 

#359 08. 05. 2019 13:32 — Editoval krakonoš (08. 05. 2019 13:36)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
H Stuart Clark
There is not function arcsinx-arctgx.In the problem (77) is function$arcsin^{-1}(x)-arctg^{-1}(x)$.
I assumed $arcsin^{-1}(x)=\frac{1}{arcsin(x)}$
tgx>x>sinx
arctg<x<arcsinx
1/arctgx>1/arcsinx  for x>0


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#360 08. 05. 2019 13:38 — Editoval stuart clark (08. 05. 2019 13:39)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Ohoo my bad you are right ↑ krakonoš:.

Can you solve it for original problem.(I have edited it). Thanks

Offline

 

#361 19. 05. 2019 12:45

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Problem (78).
Dalsi (jednoduchy?) problem. 
Najdite $\lim_{n\to +\infty} (1+\frac 1n + \frac 1{n^2})^n$ .
(Dokazete to bez L’Hôpital-oveho pravidla?)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#362 20. 05. 2019 19:40

vanusok
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
$\lim_{n\to\infty }(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}})^{n}=$$\frac{\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{n^{3}})^{n}}{\lim_{n\to\infty }(1-\frac{1}{n})^{n}}=\frac{1}{e^{-1}}=e$

Offline

 

#363 21. 05. 2019 20:22 — Editoval krakonoš (21. 05. 2019 20:24)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem(78)
Ahoj.
Zadanou limitu L lze zapsat jako $L=e^{\lim_{n\to\infty }n\cdot log(1+\frac{1}{\frac{n^{2}}{n+1}})}=$
$=e^{\lim_{n\to\infty }n\cdot \frac{n+1}{n^{2}}}=e$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#364 21. 05. 2019 20:55

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:↑ vanusok:

Pozdravujem,

Ano toto cvicenie ma ozaj vela moznych rieseni.

No dal som ho sem, aby ste sa trochu zabavili.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#365 21. 05. 2019 21:08

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Problem(79).

Nech $(u_n)_{n\in \Bbb N}$ je ohranicena postupnost, taka ze $\lim_{n \to +\infty} (u_n+\frac {u_{2n}}2)=1$.
Co mozete povedat o postupnosti $(u_n)_{n\in \Bbb N}$?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#366 21. 05. 2019 22:50 — Editoval krakonoš (21. 05. 2019 22:51)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem(79)
Ahoj.
Posloupnost je shora i zdola omezená. Obecně to samo o sobě nestačí k existenci limity, protože například vybraná podposloupnost sudých členů může mít jinou limitu než podposloupnost lichých členů. To by ovšem neexistovala ani zadaná limita, která je rovna jedné.
Posloupnost má tedy konečnou limitu L ,vybrané podposloupnosti rovněž.
L plus L/2  je rovno 1.
Limita posloupnosti un by tedy měla být rovna 2/3.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#367 22. 05. 2019 06:33

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Najprv skutocne dana postupnost konverguje k 2/3. 

Poznamename najprv, ze ak postupnost un konverguje k L tak vdaka predpokladu sa $\lim_{n \to +\infty} (u_n+\frac {u_{2n}}2)=1$, mame L+L/2=1, co da, ze L=2/3. 
No vsak, treba dokazat, ze un konverguje. 

V tvojom pokusy dokazu predpokladas, ze konvergenciu vybranych postupnosti parnych a neparnych clenov.  No o tom « à priori » nemozes este nic povedat. 

No vsak je mozne dokazat konvergenciu postupnosti (un)  sporom.
Tak predpokladajme, ze (un) nekonverguje. 
No vsak akoze je ohranicena, tak existuje vybrana postupnost $(u_{\varphi (n)})_{n \in \Bbb N}$ ktora konverguje k $\lambda \ne \frac 23$
A potom som pokracoval podobne uvahy ako ty. (No iste to kazdy dokaze urobit, alebo mam pokracovat tie moje?).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#368 22. 05. 2019 09:02 — Editoval krakonoš (22. 05. 2019 09:20)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost, jejíž limita je vlastně hromadný bod posloupnosti.
Kdyby posloupnost un měla aspoň dva hromadné různé body, pak  by A)
i posloupnost u2n měla buď rovněž dva různé hromadné body a nekonvergovala by také, takže i posloupnost( un plus u2n/2).
Aspoň já si představuji, že pokud dvě limity neexistují, může existovat limita jejich rozdílu pouze v případě rovnosti členů  ( mám na mysli např lim(1/x-1/x) pro x jdouci k nule), to však v tomto případě nenastává.
Nebo B) un ma aspoň dva různé hromadné body, u2n konverguje, pak by ale existovaly vybrané podposloupnosti. z posloupnosti (un plus u2n/2),které mají různé hromadné body,a nemohla by zadaná limita, ktera má být rovna jedné vůbec existovat.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#369 22. 05. 2019 09:54

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:,
Ano to je klucova myslienka. 
👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#370 25. 05. 2019 10:13

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem(80)

Vyšetřete konvergenci integrálu
$\int_{0}^{\infty }\frac{log(x+1)}{x^{2}+1}dx$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#371 25. 05. 2019 15:18 — Editoval vanok (25. 05. 2019 15:19)

vanok
Příspěvky: 14129
Reputace:   739 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Ja som uz pocital $\int_{0}^{1 } \frac {ln(x+1)}{x^{2}+1}dx$, ktory je $\frac {\pi}8 \ln (2)$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#372 25. 05. 2019 17:25 — Editoval krakonoš (25. 05. 2019 21:10)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Tady jsou ale jine meze.Tento priklad (a jeste dalsi dva) jsem nasla ve foru pro VŠ -uvod do studia cca cerven 2018.Jeden je tam spocten,dalsi dva ne.Tak jsem si vsechny spocetla sama a zajimalo me,jaky postup zvoli ostatni.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#373 25. 05. 2019 21:12

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Tak jsem prave zjistila,ze jsem se pocetne sekla.Zdalo se mi to podezrele lehke.Asi to bude slozitejsi.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#374 26. 05. 2019 11:46

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(81)$

For $a>0$. Then

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(\sin^{a}a+1)(\sin^{a}a+2)(\sin^{a}a+3)\cdots (\sin^{a}a+n)}{(a^{\sin a}+1)(a^{\sin a}+2)(a^{\sin a}+3)\cdots (a^{\sin a}+n)}$

Offline

 

#375 29. 05. 2019 15:48 — Editoval krakonoš (29. 05. 2019 17:20)

krakonoš
Příspěvky: 1080
Reputace:   32 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Problem (81)
Hi Stuart clark.
$(sin a)^{a}=b$
$a^{sin a}=c$
$log\frac{(b+1)\cdot (b+2)\ldots (b+n)}{(c+1)\cdot (c+2)\ldots (c+n)}=\sum_{k=1}^{n}log(1+\frac{b-c}{c+k})$
For $a\in (0;1)$  is $(sin a)^{a}<(sin a)^{sin a}<a^{sin a}$
For $a\in <1;\pi > $ is $(sin a)^{a}<a^{sin a} $
For a>0, where sin a<0 the Expression $(sin a)^{a}$ is not defined  for some $a\in R^{+}$ .For other a is $(sin a)^{a}<a^{sin a}$
For b<c is $\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}log(1+\frac{b-c}{c+k})=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}log(1-\frac{c-b}{c+k})$
$\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}log(1-\frac{1}{k})=\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}log(k-1)-log(k)=-\infty $
The function $-log(1-\frac{1}{x})$ is not growing, continuity for x>1, not negative
$-\sum_{k=1}^{\infty }log(1-\frac{1}{k})=\infty \Leftrightarrow \int_{1}^{\infty }-log(1-\frac{1}{x})dx=\infty $ (The integral criterion)
$\int_{1}^{\infty }-log(1-\frac{c-b}{c+x})dx=\infty \Leftrightarrow -\sum_{k=1}^{\infty }log(1-\frac{c-b}{c+k})=\infty $
The limit
$\lim_{n\to\infty }\frac{((sina)^{a}+1)\cdot (sina)^{a}+2) \ldots  (sina)^{a}+n))}{((a^{sina}+1)\cdot (a^{sina}+2) \ldots ( a^{sina}+n))}=0$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson