Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#551 22. 11. 2019 18:46

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pokracovanie ↑↑ vanok:,
Problem (100) , indikacie:
Mozme vyhodne pouzit, ze ak $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ kde $p_i $ su rozne prvocisla a $a_i>0$ prirodzene cisla, ze potom
$d(n)=(a_1+1)...(a_k+1)$.

Tiez moze byt uzitocne pouzit funkciu $\delta :\Bbb N^2 \to \{ 0;1\}$ taku, ze
$\delta (i;j)=1$ ak $i$ deli $j$    a
$\delta (i;j)=0$ ak $i$ nedeli $j$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#552 22. 11. 2019 20:21

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton

↑↑ vanok:
Zdravím.
Nevím, jak je tomu dnes, ale v 80tých letech se na matematice studovaly 4 obory(matematická analýza,pravděpodobnost a statistika  -tyto dva obory měly první dva roky sloučenou výuku.Podobně numerická matematika a  kybernetika).Algebra se učila první tři semestry a lineární algebra první dva semestry.Jako obor se asi dala studovat jen individuálně,  i počtem hodin toho bylo méně, zatímco ve druháku byla analýza asi10-12  hodin týdně.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#553 23. 11. 2019 14:04 — Editoval vanok (24. 11. 2019 11:59)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pokracovanie ↑ vanok:,
Cize mame $d(n)= \sum_{i=1}^{n}\delta (i;n)$ a pochopitelne
$u_n=\frac 1 n \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j}\delta (i;j)=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i }^{n}\delta(i,j)$
(vymenil som riadky a stlpce v trojuholnikovej « tabulke »).
Akoze pre dane i, $\sum_{j=i}^{n}\delta (i,j)$ je pocet nasobkov cisla i mensich alebo roznych ako n; a je to cislo k take ze $k.i \le n\le (k+1).i$ a tak $k=[\frac ni]$
( kde [.] je funkcia cela cast), co nam da :$u_n=...$
Dokazete to dokoncit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#554 24. 11. 2019 12:17 — Editoval vanok (24. 11. 2019 12:39)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ukoncenie ↑ vanok:
To znamena $u_ n= \frac 1n \sum_{i=n}^{n} [\frac ni]$ a $\frac 1n \sum_{i=1}^{n} (\frac ni-1)\le u_n\le \frac 1n \sum_{i=1}^{n} \frac ni$
$\sum_{i=1}^{n} (\frac ni-1)\le u_n \le  \sum_{i=1}^{n} \frac ni$
Cize $\sum_{i=2}^{n} \frac ni \le u_n\le  \sum_{i=1}^{n} \frac ni$.
Tak postupnost $(u_n)$ diverguje. 

Na druhu otazku pouzijeme
$\ln (n+1) \le \sum_{i=1}^n \frac 1n \le \ln (n)+1$
Co da
$\frac {\ln (n+1) -1}{\ln (n)} \le v_n \le \frac {\ln (n)+1}{\ln (n)}$.
A tak postupnost $(v_n)$ converguje k $1$
To tiez znamena, ze $u_n \sim \ln(n)$ ( u_n je ekvivalentne z ln (n)  ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#555 25. 11. 2019 15:24 — Editoval stuart clark (25. 11. 2019 15:24)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

(101) Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}e^{-n}\sum^{n}_{k=0}\frac{n^k}{k!}$

Offline

 

#556 25. 11. 2019 16:14

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#557 11. 12. 2019 10:31 — Editoval stuart clark (11. 12. 2019 10:34)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok: Thanks vanok.

Problem (102) Evaluate $\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\frac{\sqrt{1-\cos(x^2-10x+21)}}{x-3}$

Offline

 

#558 11. 12. 2019 13:18

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#559 02. 01. 2020 23:53

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (103).

Vdaka Riemann-ovej sume vyjadrite
$\lim_{n\to+\infty}\frac {\sqrt[n]{n!}}{n}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#560 03. 01. 2020 10:37 — Editoval auditor (03. 01. 2020 21:24)

auditor
Příspěvky: 122
Reputace:   
Web
 

Re: Limitny maraton

Zdravím ↑ vanok:

$a_{n} = \frac{n!^{1/n}}{n}$
$\ln{a_{n}} = \frac{1}{n} (\ln{n!} - n\ln{n}) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln{(\frac{k}{n})}$
$\lim_{n\to\infty } \ln{a_{n}}= \int_{0}^{1} \ln{x} {\mathrm{d}}x  = [x\ln{x}-x]^{1}_{0} = -1$
$\lim_{n\to\infty } a_{n} = \frac{1}{e}$

Offline

 

#561 03. 01. 2020 12:09 — Editoval krakonoš (03. 01. 2020 12:14)

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton

↑ auditor:
Problem103
Zdravím.
Taky jsem takto postupovala.Ještě jsem pro kontrolu použila Stirlingův vzorec pro n! - jiný adekvátní postup.,nejdou mi psát vzorce,nemám signál.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#562 05. 01. 2020 07:31 — Editoval vanok (05. 01. 2020 07:53)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ auditor:,
Ano to je dobre riesenie. 
Trosicku rychlejsie riesenie sa najde vdaka konstatacii, ze $a_n=\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#563 10. 02. 2020 08:48

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (104) : Finding $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\int^{1}_{0}x^n\sin(x^{n})dx}{\int^{1}_{0}x^n\ln(1+x)dx}$

Offline

 

#564 10. 02. 2020 18:42 — Editoval krakonoš (19. 02. 2020 12:49)

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
(Problem104)
Hi
$\int_{0}^{1}x^{n}ln(1+x)dx=\frac{ln2}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}+1-1}{x+1}dx$$=\frac{2ln2}{n+1}+\frac{1}{n+1}\cdot \sum_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^{k}}{k}$

$\int_{0}^{1}x^{n}sin(x^{n})dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}y^{\frac{1}{n}}sin y  dy$
$f_{n}(y)\Rightarrow f(y)        $ uniform convergention on interval (0;1)
$\lim_{n\to\infty }sup|(sin y )(y^{\frac{1}{n}}-1)|=0        $
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{\int_{0}^{1}x^{n}sin(x^{n})dx}{\int_{0}^{1}x^{n}ln(1+x)dx}$
$L=\lim_{n\to\infty }\frac{n+1}{n}\cdot \int_{0}^{1}\lim_{n\to\infty }y^{\frac{1}{n}}sin y dy\cdot \frac{1}{ln2}=\frac{1-cos1}{ln2}$


NOTE
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k}=-ln 2$


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#565 29. 02. 2020 09:43 — Editoval stuart clark (29. 02. 2020 09:44)

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ krakonoš:

Problem (105)

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-n\tan\bigg(\frac{\arctan x}{n}\bigg)}{n\sin\bigg(\frac{\arctan x}{n}\bigg)-x}$ for $n\in \mathbb{N}$

Offline

 

#566 01. 03. 2020 08:53

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Hi Stuart Clark., Problem 105
First I used the substitution for arctan x/n, bud there was no limit.
So I have used Maclaurin series for functions. I have got the result
$\frac{2-\frac{2}{n^{2}}}{-\frac{1}{n^{2}{}}-2}$.(if I then numerically somewhere mistaken)


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#567 06. 03. 2020 00:01 — Editoval vanok (06. 03. 2020 00:03)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem.
Problem (106). 

Vysetrite konvergenciu postupnosti definovanej  takto $ x_{n+1}=\frac 12(x_n+\frac 1{x_n})$ kde $x_0\in \Bbb C$.

(Podla Newman, Seminar)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#568 06. 03. 2020 16:49

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (106).
Mozny navod. 
Vyuzite, ze pre $z$ complexne mame $\frac {1+z^2}{1-z^2}=\frac 12(\frac {1+z}{1-z}+ \frac {1-z}{1+z})$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#569 07. 03. 2020 16:23

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem (106).
Teraz mozte urobit zmenu premennych:
polozte $ x_n=\frac {1+z_n}{1-z_n}$.
Vysetrite ako to transformuje  vzorec  dany v ↑ vanok:?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#570 08. 03. 2020 22:59 — Editoval vanok (10. 03. 2020 10:20)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (106).
Kontrola. 


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#571 17. 03. 2020 10:11

stuart clark
Příspěvky: 1007
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (107) : If $\lim_{r\rightarrow \infty}r^C\cdot \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^r\sin xdx\cdot \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}x^r\cos xdx}=L.$ Then $(C,L)=$

where $L>0$ and $C\in \mathbb{R}$

Offline

 

#572 24. 04. 2020 12:42

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Problem (108).
Nech $f: \Bbb {R_+} \to \Bbb R$ je $C^1$, taka, ze $\lim_{x\to +\infty}( f^ {\prime}(x)+f(x))=0$  .
Co mozte dokazat o $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ ?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#573 25. 04. 2020 09:03

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Pomoc.
Jedna, mozna metoda, je pouzit L’Hôpistal-ove pravidlo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#574 25. 04. 2020 11:26

krakonoš
Příspěvky: 972
Reputace:   30 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Ahoj.
Já myslela že je to příklad na omezenost funkce,že kdyby měla f(x) konečnou limitu,tak by tam byla omezenost,kde např limita je vlastně jejím supremem, resp infinem,pak by podle mě byla limita derivace této funkce rovna nule, takže by vyhovovala jedině nulová limita fce f.O případu, kdy f(x) nemá smysl uvažovat.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#575 25. 04. 2020 12:21 — Editoval vanok (25. 04. 2020 14:30)

vanok
Příspěvky: 13922
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
Napisem tak ako to riesit ,( ale su aj ine cestu k rieseniu).
Staci, si uvedomit, ze
$\lim_{ x \to +\infty}f(x) = \lim_{ x \to +\infty} \frac {e^xf(x) }{e^x}= \lim_{ x \to +\infty} \frac {e^x(f(x) +f^{\prime}(x))}{e^x}=\\  \lim_{ x \to +\infty}(f(x) +f^{\prime}(x)) $ .

A aby som nezabudol, vela zdravia a pekny den.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson