Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 05. 2016 19:05 — Editoval liamlim (23. 05. 2016 19:33)

liamlim
Příspěvky: 216
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

"důkaz" Velké Fermatovy věty

Ahoj!

Vidí někdo nějakou chybu v tomto "důkazu"? Jestli ano, byl bych vděčný, kdyby napsal.

Řekněme, že máme po dvou nesoudělná $x$, $y$, $z$ a prvočíselné $n$ taková, že:

1)  $x^n+y^n+z^n = 0$

Dále uvažujme libovolné z nekonečně mnoha přirozených $a$ takových, že $2n+a$ je prvočíslem. Snadno nahlédneme, že $a$ musí být liché. Navíc volíme $a$ takové, že $2n+a$ nedělí $xyz$ - takové $a$ jistě můžeme zvolit, neboť máme k dispozici nekonečně mnoho prvočísel...

2.1) $2n+a$ je prvočíslo
2.2) $2n+a$ nedělí $xyz$

Vyjdeme ze (1). Po odečtení $z^n$ a umocnění na druhou dostaneme:

3)  $x^{2n} + y^{2n} + 2x^ny^n = z^{2n}$

Celou rovnost (3) přenásobíme $(xyz)^{a-1}$. Dále využiji Eulerovy věty, tedy, že platí $x^{2n+a-1} \equiv 1 \mod 2n+a$. Přičemž analogický vztah platí pro $y$ a $z$. Mám tedy:

$y^{a-1}z^{a-1} + x^{a-1}z^{a-1} + 2x^{n+a-1}y^{n+a-1}z^{a-1} \equiv x^{a-1}y^{a-1} \mod 2n+a$
4) $2x^{n+a-1}y^{n+a-1}z^{a-1} \equiv x^{a-1}y^{a-1} - y^{a-1}z^{a-1} - x^{a-1}z^{a-1}\mod 2n+a $

Nyní celou rovnost 4 umocním na druhou a zase využiji Eulerovy věty. Přitom použiji: $2n+2a-2 = (2n+a-1) + (a-1)$

Pak dostanu $4x^{a-1}y^{a-1}z^{2a-2} \equiv (x^{a-1}y^{a-1} - y^{a-1}z^{a-1} - x^{a-1}z^{a-1})^2 \mod 2n+a$

To nyní jednoduše roznásobím a snadno upravím:

$2(x^{2a-2}y^{a-1}z^{a-1} + y^{2a-2}z^{a-1}x^{a-1} + x^{2a-2}x^{a-1}y^{a-1}) \equiv x^{2a-2}y^{2a-2}+y^{2a-2}z^{2a-2}+z^{2a-2}x^{2a-2} \mod 2n+a$

Neboli
$4(x^{2a-2}y^{a-1}z^{a-1} + y^{2a-2}z^{a-1}x^{a-1} + x^{2a-2}x^{a-1}y^{a-1}) \equiv (x^{a-1}y^{a-1} + y^{a-1}z^{a-1} + z^{a-1}x^{a-1})^2 \mod 2n+a$

Nyní pouze vytkneme...

5) $4(xyz)^{a-1}(x^{a-1} + y^{a-1}+z^{a-1}) \equiv (x^{a-1}y^{a-1} + y^{a-1}z^{a-1} + z^{a-1}x^{a-1})^2 \mod 2n+a$


TADY JE CHYBA: oprava v dalším příspěvku. Původní verze skryta:

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) liamlim)

#2 23. 05. 2016 19:21

check_drummer
Příspěvky: 2661
Reputace:   73 
 

Re: "důkaz" Velké Fermatovy věty

↑ liamlim:
Ahoj, proč jsi označil téma jako vyřešené? Našel jsi chybu? Pokud ano, kde?


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#3 23. 05. 2016 19:25

liamlim
Příspěvky: 216
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: "důkaz" Velké Fermatovy věty

↑ check_drummer:

Ten bod jsem označil. Ale našel jsem "opravu". Ono je jasné, že tam chyba je. Spíš mě baví ji hledat. Asi pošlu "opravený" důkaz. Jen nevím, jestli mám zkopírovat velkou část původního, kterou bych nechal být, nebo jestli mám pouze psát tu konkrétní část. To se rozmyslím. Chyba byla před bodem 6 a místo jsem označil. Měl jsem násobit $(xyz)^{2n}$, nemůžu totiž psát, že $x^{n+a-1} \equiv 1\mod 2n+a$ protože to neplatí

Offline

 

#4 23. 05. 2016 19:28 — Editoval liamlim (23. 05. 2016 21:08)

liamlim
Příspěvky: 216
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: "důkaz" Velké Fermatovy věty

5) $4(xyz)^{a-1}(x^{a-1} + y^{a-1}+z^{a-1}) \equiv (x^{a-1}y^{a-1} + y^{a-1}z^{a-1} + z^{a-1}x^{a-1})^2 \mod 2n+a$

Tady to bylo ještě dobře.

Tak tuto rovnost vynásobíme $(xyz)^{4n}$. Tím dostaneme:

$4(xyz)^{2n} (x^{a-1} + y^{a-1}+z^{a-1}) \equiv (x^{2n} + y^{2n} + z^{2n})^2 \mod 2n+a$

Neboli

$4(x^{2n}y^{2n} + y^{2n}z^{2n} + z^{2n}x^{2n}) \equiv (x^{2n} + y^{2n} + z^{2n})^2 \mod 2n+a$

Což už stačí...

EDIT: Tak jsem psal, že mě baví hledat tu chybu. Už ne.. Čtu si to podesáté a nemůžu ji najít. Kdyby ji někdo na těch 6 bodech uviděl, pak prosím, aby sem napsal. Autor některé věci snadno přehlédne, protože je sám tvořil.

EDIT2: Tak ta chyba je hned v posledním řádku. Ono totiž pokud $x^n+y^n+z^n = 0$ pak ten poslední řádek vždy platí.

EDIT3: kazdopadne bod 5 mi presto prijde zajinavy. Treba by mohl byt zajimavy pro nejakou specialni hodnotu a...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson