Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 05. 2010 15:33

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

komutující matice

Mám matici:  1  2  0
                   3  -1  2
                   0   1  1             A mám najít všechny matice B, tak aby platilo:  A.B=B.A.

Tak jedna je určitě jednotková matice a jak najdu ty ostatní?   Stačilo by rozepsat to, že bych matici A vynásobila s maticí, která má 9 neznámých (X11,X12,X13,X21,X22,....  ) a na pravé straně to samé a vyjdou mi vlastně na pravé i levé straně stejné vysledky, tak bych řekla, že  9 neznáchých X je z reálných čísel?

Offline

 

#2 16. 05. 2010 15:54

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

hej a dostaneš sústavu ktorú vyriešiš


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 16. 05. 2010 16:14

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

aha, takže pak mi vznikne soustava o 9 neznámých, takže když mám najít všechny matice B, tak aby bylo A.B=B.A, tak to mi vyjdou jen 2 matice? ta jednotková a druhá, kterou vyřeším ze soustavy?

Nebo nebylo by také možné vypočítat inverzní matici k A (pomocí determinantu a algebraickýho doplnku)?

Offline

 

#4 16. 05. 2010 16:23

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

ja som ani neriešiltú sústavu,ale viem,že riešení je nekonečne veľa lebo matica $\begin{pmatrix}t && 0 && 0\nl0 && t && 0\nl0 && 0 && t\end{pmatrix}$
pre každé reálne t je dobrá vyriešením sústavy možno prídeš aj na iné možno nie neviem neriešil som


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 16. 05. 2010 16:29

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

↑ jarrro:

a kdybych tu matici A vynásobila maticí B, která by tedy měla 9 neznámých a pak napsala, že všech 9 neznámých x je z reálných čísel, tak to ne??

Offline

 

#6 16. 05. 2010 16:39 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 16:47)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

akože  každá matica komutuje s danou? to nie je pravda skús napr maticu so samých jednotiek tá nekomutuje s danou maticou


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 16. 05. 2010 17:34

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

Neporadil by jste mi ještě někdo? já na to nemůžu zaboha přijít :(

Offline

 

#8 16. 05. 2010 18:01 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 18:08)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

vyrieš tú sústavu
$\begin{pmatrix}x_{1,1} && x_{1,2} && x_{1,3}\nlx_{2,1} && x_{2,2} && x_{2,3}\nlx_{3,1} && x_{3,2} && x_{3,3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 && 2 && 0\nl3 && -1 && 2\nl0 && 1 && 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 && 2 && 0\nl3 && -1 && 2\nl0 && 1 && 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1,1} && x_{1,2} && x_{1,3}\nlx_{2,1} && x_{2,2} && x_{2,3}\nlx_{3,1} && x_{3,2} && x_{3,3}\end{pmatrix}$vynásob a porovnaj prvok po prvku vynikne sústava a vyrieš ju


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 16. 05. 2010 18:25

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

↑ jarrro:

takže se nemá rovnat leva  a pravá strana?

A když mám najít všechny řešení matice B, tak to budou teda jen 2 řešení?

Offline

 

#10 16. 05. 2010 18:31

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

akože nemá rovnať práveže sa podľa zadania musí rovnať nie 2 riešenia ale nekonečne veľa ako som napísal určite každý reálny násobok jednotkovej matice a neviem či aj iné lebo som sústavu neriešil


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#11 16. 05. 2010 18:32

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

↑ jarrro:

tak bud blbe pocitam, nebo fakt nevím,  protože soustava mi vyšla u všech neznámých nula...

Offline

 

#12 16. 05. 2010 18:55 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 19:01)

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

aká sústava ti vyšla? mne vyšla z hodnosťou 6 teda nie len jedno riešenie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#13 16. 05. 2010 19:00

ajucha
Příspěvky: 424
Reputace:   
 

Re: komutující matice

↑ jarrro:

vynásobím normálně ty dve strany a a pak dam prvek na miste a11 do rovnosti s prvkem a11 na druhé straně atd... a mam soustavu 9 rovnic, no ale zadny cisla, jen proste xka...

Offline

 

#14 16. 05. 2010 19:11

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

↑ ajucha:áno a ak som sa nepomýlil tak ma tica sústavy je
$\begin{pmatrix}0 && 3 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0 && 0 && 0\nl2 && -2 && 1 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0 && 0\nl0 && 2 && 0 && 0 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0\nl-3 && 0 && 0 && 2 && 3 && 0 && -2 && 0 && 0\nl0 && -3 && 0 && 2 && 0 && 1 && 0 && -2 && 0\nl0 && 0 && -3 && 0 && 2 && 2 && 0 && 0 && -2\nl0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 0 && 0 && 3 && 0\nl0 && 0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 2 && -2 && 1\nl0 && 0 && 0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 2 && 0 \end{pmatrix}$a pravou stranou nulovou matica sústavy má hodnoť 6 teda nie je tam len nulové riešenie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#15 16. 05. 2010 19:45 — Editoval BrozekP (16. 05. 2010 19:48)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: komutující matice

Řešit to jako soustavu je jistě možné, ale mně to přijde nezajímavé :-). Co takhle:

Matice A má různá vlastní čísla $a_i$ (o tom se přesvědčíme výpočtem). Požadujeme $AB=BA$, proto pro každý vlastní vektor $v_i$ matice A, jemuž přísluší vlastní číslo $a_i$, platí

$A(Bv_i)=BAv_i=Ba_iv_i=a_iBv_i=a_i(Bv_i)$.

Vektor $Bv_i$ je tedy vlastní vektor matice $A$. Protože dimenze podprostoru vlastního čísla $a_i$ je jedna (každé vlastní číslo matice A je pouze jednonásobným kořenem charakteristického polynomu - v této úloze), je vektor $Bv_i$ násobkem (označme konstantu úměrnosti $b_i$) vektoru $v_i$, tedy

$Bv_i=b_iv_i$.

Matice B má tedy stejné vlastní vektory jako matice A. Snadno už sestrojíme obecnou matici s těmito vlastními vektory a obecnými vlastními čísly $b_i$. Dá se také snadno ukázat, že každá takto sestrojená matice už bude splňovat podmínku $AB=BA$.

Vlastní čísla $b_i$ jsou v tomto případě tři, takže dimenze prostoru matic, které vyhovují AB=BA bude tři.

Offline

 

#16 15. 04. 2012 17:35

Dalsi Uzivatelske Jmeno
Příspěvky: 86
Reputace:   
 

Re: komutující matice

↑ jarrro:

Zkouším si tuhle matici vyřešit, něco mi vyšlo, ale teď nevím, co s tím... Tři řádky mi vypadly a zbylo mi tohle:

-2   2   -1   0     2     0    0      0     0       / 0
0   6   -3    -4    0     0    4     0       0      / 0
0   0    -3   0      0    0    4     0       0       /0
0   0    0     1     0     0    0    -3      0       /0
0    0    0    0     1     0    -2    2     -1      /0
0    0    0    0     0     1     0    -2     0       /0


nevím tedy, jestli to je správně, ale kdyby jo, co teď s tím?  Když mi v tom posledním řádku zbyly dvě neznámé?

Offline

 

#17 17. 04. 2012 10:27

jarrro
Příspěvky: 4998
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: komutující matice

tri neznáme môžeš voliť ľubovoľne


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#18 10. 11. 2012 20:11

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: komutující matice

Ahoj, v souvislosti s touto úlohou mám doplňující otázky:

Pavel Brožek napsal(a):

Protože dimenze podprostoru vlastního čísla $a_i$ je jedna (každé vlastní číslo matice A je pouze jednonásobným kořenem charakteristického polynomu - v této úloze), je vektor $Bv_i$ násobkem (označme konstantu úměrnosti $b_i$) vektoru $v_i$

Proč prosím toto platí? Nemůže být vektor $Bv_i$ násobkem obecně jiného vektoru $v_j$?

Pavel Brožek napsal(a):

Matice B má tedy stejné vlastní vektory jako matice A. Snadno už sestrojíme obecnou matici s těmito vlastními vektory a obecnými vlastními čísly $b_i$.

Jakým způsobem bys konstrukci provedl? Mě nenapadá jiná než řešit soustavu 9 rovnic o 9 neznámých...

Díky


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#19 10. 11. 2012 20:24

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: komutující matice

↑ check_drummer:

Ahoj,

$Bv_i$ je vlastní vektor k číslu $a_i$ (ukázal jsem $A(Bv_i)=\ldots=a_i(Bv_i)$).

Známe vlastně Jordanův rozklad matice B. Z toho už snadno vynásobením tří matic (matice vlastních vektorů, diagonální matice a matice inverzní k matici vlastních vektorů) dostaneme přímo B.

Offline

 

#20 10. 11. 2012 21:42

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: komutující matice

↑ Pavel Brožek:
Už je to jasné. Díky.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson