Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 08. 2010 14:31

Lucinecka88
Příspěvky: 377
Reputace:   
 

analytická geometrie 3.

Ahoj, mám prosím ještě dva problémy.Asi potřebuju jenom nakopnout a dál to zvládnu. Děkuji strašně moc.

1)Určete osy stran, střed a poloměr kružnice opsané.
    a) o stranách a:x+3y-7=0, b:x-y-3=0, c:x-2y+3=0
    b) o vrcholech A=[-6,5], B=[1,-2], C=[4,1]

2)Průsečíkem přímek 3x+y+10=0 a 4x+5y+6=0 veďte přímku, jejíž vzdálenost od počátku je rovna 4.

Offline

 

#2 23. 08. 2010 15:47 — Editoval jelena (23. 08. 2010 15:47)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:

Zdravím,

pokud stačí jen návrh postupu:

1)Určete osy stran, střed a poloměr kružnice opsané.
    a) o stranách a:x+3y-7=0, b:x-y-3=0, c:x-2y+3=0
    b) o vrcholech A=[-6,5], B=[1,-2], C=[4,1]

V zadání vypadlo, že se jedná o trojuhelník (a) - zadáno pomocí přímek, na kterých leží strany.

Je třeba  najit průsečíky těchto přímek (po dvojicích), vzniknou vrcholy trojuhelníků. Střed úsečky ze dvou bodů udělat umíš. Středem úsečky bude procházet osa strany. Z rovnice přímky strany, ke které tvořiš osu, vezmeš normalový vektor, který bude směrnicovým vektorem pro přímku=osu strany.

Střed kružnice opsané je na průsečíku os. Poloměr kružnice opsané je vzdálenost středu od jednoho z vrcholu trojuhelníku.

b) už vrcholy máš, jinak stejně.

2)Průsečíkem přímek 3x+y+10=0 a 4x+5y+6=0 veďte přímku, jejíž vzdálenost od počátku je rovna 4.

najit průsečík přímek (vyřešit soustavu rovnic).
Sestavit obecný zápis přímky ax+by+c=0, do kterého dosadit souřadnice bodu=průsečíku přímek. Po dosazení do vzorce pro vzdálenost bodu od přímky v=... souřadnice počátku (0, 0) vyřešit soustavu rovnic - neznámé b, c (a si můžeš zvolit).

Snad pomůže. Ať se vede.

Offline

 

#3 23. 08. 2010 16:02 — Editoval Rumburak (23. 08. 2010 16:11)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8642
Reputace:   498 
 

Re: analytická geometrie 3.

1a)  Souřadnice vrcholu, který je průsečíkem stran a, b (tedy vrcholu C)  spočítáme jako řešení soustavy rovnic odpovícajících těmto stranám,
tedy soustavy  x+3y-7=0, x-y-3=0.  Obdobně najdeme zbývající vrcholy.  Tím úlohu 1a převedema na úlohu typu 1b.

1b)  Osa strany AB jednak prochází jejím středem  K = (A + B)/2 ,  za druhé je kolmá k vektoru  B-A . Rovnici osy strany AB proto můžeme
vyjádřit ve tvaru  (B - A)(X - K)  = 0   (na levo je skalární součin vektorů, X=[x,y] je obecný bod této osy) .

Vezmeme-li rovnice os dvou libovolných (různých) stran  a řešíme je jako soustavu, pak řešením této soustavy bude střed S kružnice opsané,
její poloměr dostaneme jako vzdálenost |SA| resp. |SB| resp. |SC|  - pokud jsme neudělali někde chybu, pak se tato čísla rovnají .

2)  Průsečík M[m,n] oněch přímek dostaneme jako  řešení soustavy rovnic těchto přímek, tj. soustavy 3x+y+10=0 ,  4x+5y+6=0 .
Body [x, y] mající od počátku P=[0, 0] vzdálenost rovnu 4 leží na kružnici q se středem v počátku mající poloměr 4, což je kružnice o rovnici
$x^2 + y^2 = 16$.  Přímka p, kterou hledáme, je tečnou ke zmíněné kružnici s bodem dotyku T[a, b]. Přitom vektor T-P = (a,b)
je kolmý k přímce p.  Obecný bod X[x,y] přímky p včetně bodu T bude proto splňovat rovnici  $a(x-m) + b(y-n) = 0$
Čísla a, b dopočítáme ze soustavy 

  $a^2 + b^2 = 16$         (bod T[a, b] leží na kružnici q),

  $a(a-m) + b(b-n) = 0$   (bod T[a, b] leží na přímce p;  předpokládáme, že čísla m, n jsou již spočítána způsobem naznačeným výše ) .


EDIT.  Kolegyně Jelena (již tímto zdravím) byla rychlejší, ale můj návrh postupu snad také nebude ku škodě.

Offline

 

#4 24. 08. 2010 08:02 — Editoval Cheop (24. 08. 2010 08:45)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: analytická geometrie 3.


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#5 24. 08. 2010 09:27

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11888
Reputace:   876 
Web
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:
2. pro kontrolu:
přímky budou dvě
$p:x+4=0$
$q:3x-4y+20=0$


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#6 24. 08. 2010 09:53

Lucinecka88
Příspěvky: 377
Reputace:   
 

Re: analytická geometrie 3.

Děkuju všem za radu,ale nepochopila jsem jak mám začít a jak pokračovat. Obrázky jsou hezké,ale nechápu to z nich.

↑ zdenek1:
Ano, dvojka má takto vyjít.

Offline

 

#7 24. 08. 2010 10:12

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:

Zdravím,

je třeba začit rozborem svého zadání:

a) je požadován zápis osy úsečky - jaké vlastnosti má osa? prochází středem úsečky + je k úsečce kolmá.

b) "prochází středem úsečky" - jak se vypočte střed úsečky? Potřebuji 2 body - konce úsečky.

c) odkud vezmu 2 body - konce úsečky? Mám v zadání přímky, co tvoří jednotlivé strany. Přímky se potkavaji v bodech=vrcholy trojuhelníku=konce úsečky.

d) závěr - je třeba najit průsečík přímek. Průsečík přímek hledám tak, že řeším soustavu 2 rovnic, zadavajích 2 přímky.

A stejným způsobem řeším každý svůj dílčí provlém, až z toho vytvořím celek.

Věřím, že někdo z hodných kolegů poskytné i více odborný výklad a dohled. Děkuji.

Offline

 

#8 24. 08. 2010 10:30 — Editoval Rumburak (24. 08. 2010 10:31)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8642
Reputace:   498 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:
Začni tím, že si zvolíš  úlohu, kterou chceš řešit přednostně  - doporučil bych zde volit mezi úlohami 1b, 2,  a pak si vezmi "k ruce" některý
z příspěvků,  které podávají návod, například ↑ jelena: nebo ↑ Rumburak:,  a podle toho postupuj pro zvolenou úlohu. 
Stačí jen vzít si tužku, štos čistých papírů a pořádně se soustředit.  Když narazíš na dílčí problém (například "neumím vyřešit soustavu rovnic", 
"nevím, jak vypočítat vzdálenost bodů" a pod.), tak zformuluj dotaz a pošli ho sem.

Pak si vyber další úlohu a postupuj obdobně.

Offline

 

#9 24. 08. 2010 10:50 — Editoval Cheop (24. 08. 2010 13:58)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:
1a)
1) Určíš souřadnice vrcholů trojúhelníka
a) Bod C bude průsečík přímek a a b tedy řešíš rovnice:
$x+3y-7=0\nlx-y-3=0\nlC=(4;\,1)$
b) Bod B průsečík přímek a a c tedy řešíš rovnice:
$x+3y-7=0\nlx-2y+3=0\nlB=(1;\,2)$
c) Bod A bude průsečík přímek b a c tedy řešíš rovnice:
$x-y-3=0\nlx-2y+3=0\nlA=(9;\,6)$
2) Střed kružnice opsané leží na osách stran.
     Osa strany prochází středem příslušné strany a je kolmá na příslušnou stranu.
a) Musíme určit středy stran a, b, c
Střed strany a je střed úsečky BC tedy:
$S_a=\left(\frac{(4+1)}{2};\,\frac{(1+2)}{2}\right)=(2,5;\,1,5)$
Střed strany b je:
$S_b=\frac{A+C}{2}=(6,5;\,3,5)$
Střed strany c je:
$S_c=\frac{A+B}{2}=(5;\,4)$
b) Určíme rovnice os stran
Osa strany a bude kolmá na stranu a a bude procházet bodem S_a tedy rovnice bude:
$3x-y+c=0$ dosazení souřadnic bodu Sa dostaneme rovnici:
$2,5\cdot 3-1,5+c=0\nlc=-6$
Rovnice o_a je:
$3x-y-6=0$
Osa strany b bude kolmá na stranu b a bude procházet bodem S_b tedy rovnice je:
$x+y+c=0\nl6,5+3,5+c=0\nlc=-10$
Rovnice osy strany b je:
$x+y-10=0$
Osa strany c bude:
$2x+y+c=0\nl2\cdot 5+4+c=0\nlc=-14$
Rovnice osy strany c je:
$2x+y-14=0$
Střed kružnice opsané určíme jako průsečík 2 os stran třeba o_b a o_c řešíme rovnice:
$x+y-10=0\nl2x+y-14=0\nlx=4\nly=10-x\nly=6\nlS_k=(4;\,6)$
c) Určíme velikost poloměru kružnice opsané jako vzdálenost středu kružnice od bodu A(B,C) = vzdálenost 2 bodů
     Poloměr bude vzdálenost S_o a bodu A tedy:
$r=\sqrt{(9-4)^2+(6-6)^2}\nlr=\sqrt{25}\nlr=5$

Máme vypočítáno.
Doufám, že jsem tam někde neudělal chybu.
PS:
Rekapitulace:
Osy stran
$o_a:\,3x-y-6=0\nlo_b:\,x+y-10=0\nlo_c:\,2x+y-14=0$
Střed kružnice opsané
$S_o=(4;\,6)$
Poloměr kružnice opsané
$r=5$


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#10 13. 09. 2010 16:04

Lucinecka88
Příspěvky: 377
Reputace:   
 

Re: analytická geometrie 3.

Ahoj, omlouvám se všem, že jsem otravovala a potom se neozvala. Příklady mám vypočítaný a dneska jsem odmaturovala za 3. Jinak děkuji za pomoc.

Offline

 

#11 13. 09. 2010 16:10

teolog
Místo: Praha
Příspěvky: 3497
Škola: MFF + PřF UK
Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
Reputace:   167 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ Lucinecka88:
Moc gratuluji!
Já mám ve čtvrtek zase státnice z matematiky, tak doufám, že dopadnu podobně. I tu trojku bych bral všema deseti :)
Tak ať se Vám daří.

Offline

 

#12 13. 09. 2010 17:13

Kaaca
Místo: Praha
Příspěvky: 42
Škola: PedF UK
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ teolog:
sakra, já už zítra!!! taky bych byla ráda za tři, no nic ... jdu si zas něco číst ...

Offline

 

#13 14. 09. 2010 23:22

pavlik93
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: analytická geometrie 3.

Prosím o radu jak vypočítat tento příklad? Děkuji!!   
Jsou dány souřadnice bodů A [1,0]    B[5,2]    zjistěte souřadnice zbylých dvou bodů C,D jedná-li se o čtverec

Offline

 

#14 14. 09. 2010 23:25

teolog
Místo: Praha
Příspěvky: 3497
Škola: MFF + PřF UK
Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
Reputace:   167 
 

Re: analytická geometrie 3.

↑ pavlik93:
V zájmu přehlednosti fóra Vás prosím, abyste si založil vlastní nové téma.
V něm Vám rád poradím :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson