Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 04. 2009 15:47 — Editoval BrozekP (07. 10. 2010 21:35)

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Kombinatorika

prosim ta ako rozoznam variacie od kombinacii a potom od toho ci su s opako alebo bez opakovania. NEchapem tomu ze kedy zalezi a kedy nezalezi na poradi. Dakujem dopredu za odpoved.

Offline

 

#2 14. 04. 2009 16:42

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8653
Reputace:   498 
 

Re: Kombinatorika

Dnes už nemám kdy, ale zítra odpoledne se pokusím napsat k tomu příspěvek, pokud tak mezitím neučiní někdo jiný

Offline

 

#3 14. 04. 2009 16:58

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:plS brachO pomozte ja mam zajtra pisomku s toho a potrebujem co najrychlejsie rozoznat variacie od kombinacii. dakujem

Offline

 

#4 14. 04. 2009 18:21 — Editoval ttopi (14. 04. 2009 18:23)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ kubO:
Je to celkem jednoduché.

Variace - záleží na pořadí - například při frontě na maso, při různých losovacích soutěží, kde musíš uhádnout třeba pětičíslí, nebo když se volí třeba předseda, zástupce, náměstek atd...

Kombinace - nezáleží na pořadí - například tvorba volejbalového mužstva, sportka, atd...

S opakováním/bez opakování - už z názvu lze odvodit, čeho se to týká. S opakováním je třeba tvorba petičíslí z cifer 2;3;5 - je jasné, že se tam, musí nějaká opakovat. Nebo třeba když se tvoří telefonní čísla, nebo značky aut, mohou se tam číslice opakovat.

Jinak doporučuji Wiki a následující odkazy:
Kombinace
Variace
Permutace


oo^0 = 1

Offline

 

#5 14. 04. 2009 19:32

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ ttopi:dakujem ti moc za odpoved fakt som ti za nu vdacny. Dufam ze mi to zajtra vide. Drzte mi palce x) dakujem

Offline

 

#6 15. 04. 2009 09:19 — Editoval Rumburak (06. 10. 2010 11:14)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8653
Reputace:   498 
 

Re: Kombinatorika

Přiznám se, že pojetí středoškolské kombinatoriky nepovažuji za příliš šťastné. Tak především: definice variací a kombinací se opírají o pojmy jako
"skupina", "zálaží/nezáleží na pořadí", "prvky se mohou/nemohou opakovat",  které do matematiky nepatří a mohou tak vyvolávat rozpaky a nejasnosti,
dále: dvojice pojmů  variace - variace s opakováním,  kombinace - kombinace s opakováním  nevystihují způsobem své konstrukce vztahy mezi
obecným a speciálním, které zde existují - ba právě naopak tyto vztahy zatemňují.
Pokud bych měl do těchto záležitostí co mluvit, postavil bych středoškolskou kombinatoriku poněkud jinak. Rád bych zde tuto alternativu předložil
k případné diskusi. Pojmy, které jsou míněny v "mém" pojetí, píši vždy v uvozovkách,  v závěru příspěvku  je pak dám do souvislostí se standardní terminologií -
standardní termíny budu psát velkými písmeny.


A. VARIACE (bez ohledu na případné opakování).  Nechť jsou dány  m-prvková množina M  a množina  K = {1,2,...,k} , již nazveme "množinou pozic".

I d e a : Určit variaci z prvků množiny M znamená určit  funkci (=zobrazení), která každé pozici z množiny K přiřadí některý prvek množiny M.

D e f i n i c e .  "Variací k-té třídy (nebo též: délky k) prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci z množiny K do množiny M
(tj. D(f) = K, H(f) je částí M).   Je-li tato funkce prostá, hovoříme o "prosté variaci", případně o "variaci bez opakování".


B. KOMBINACE  (bez ohledu na případné opakování). Nechť je opět dána m-prvková množina M.

I d e a : Určit kombinaci prvků z množiny M znamená ke každému prvku množiny M určit počet jeho výskytů v této kombinaci.

D e f i n i c e . "Kombinací prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci f z množiny M do množiny {0,1,2, ...} .  Dále nazýváme
- číslo f(x) "počtem výskytů prvku x v kombinaci f" ,
- číslo $\max\, \{f(x)\,|\,x \in M\}$ jejím "typem",
- číslo $\sum_{x \in M}^{}f(x)$ její třídou (nebo též "délkou").
O kombinacích "typu" 1 hovoříme jako o "kombinacích bez opakování".


Souvislosti se standardní terminologií (pojmy uvádím v jednotném čísle):

VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "prostá variace k-té třídy z m prvků",
VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "variace k-té třídy z m prvků - bez ohledu na to, zda je prostá",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "kombinace k-té třídy z m prvků, jejíž typ je roven 1",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "kombinace k-té třídy z m prvků - jejíž typ může být libovolný".

Offline

 

#7 06. 10. 2010 12:30

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 994
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Rozumím důvodům a zčásti s nimi souhlasím.
Na druhou stranu mi navržený přístup nepřijde šťastně navržený. Konstrukce kombinací je zbytečně  technická.
Kolik je kombinací 7. třídy z 5 prvků, jejíž typ je roven 3?

Offline

 

#8 06. 10. 2010 14:18 — Editoval Rumburak (07. 10. 2010 14:17)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8653
Reputace:   498 
 

Re: Kombinatorika

↑ petrkovar:

Především děkuji za reakci.

Navržená definice kombinací se mi osvědčila ke srozumitelnému odvození vzorce pro počet C'(n,k) klasikých kombinací s opakováním.
Ale netvrdím, že tento systém je bez nedostatků. 


K té úloze "Kolik je kombinací 7. třídy z 5 prvků, jejíž typ je roven 3?":

Pokoušet se o odvození obecného vzorce jsem zatím nepovažoval za nutné, ale tuto výzvu výhledově přijímám.

Prozatím jen konkretně a schematicky, určitě to bude srozumitelné i bez podrobného komentáře:

7   =  3  +  1  + 1  +  1  +  1     ......   počet možností :  5  ,
7   =  3  +  2  + 1  +  1  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 ,
7   =  3  +  2  + 2  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*(4 nad 2)  *)
7   =  3  +  3  + 1  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 , OPRAVA:  5*(4 nad 2)  obdobně jako o řádek výše

tedy pokud jsem se někde nesekl.

*)...  využil jsem toho, že  případ  "2  + 2  +  0  +  0"  má stejný počet možností jako případ  "1  + 1  +  0  +  0" .

Jak tuto úlohu zformulovat v klasických pojmech ? Bylo by to komplikovanější a připadá mi, ža ani řešení by nebylo snazší.

Offline

 

#9 06. 10. 2010 22:13

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 994
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:Vztah pro počet kombinací s opakováním se odvozuje "klasicky" s využitím "oddělovačů". Mám za to, že je to snadno vstřebatelné i dobře zapamatovatelné. Samozřejmě závisí na konkrétním podání (jako se vším ;-)

Nerad bych, aby to vyznělo, že je třeba trápit se se vzorcem. (Řekl bych, že nejlépe jej lze odvodit s využitím inkluze a exkluze). Chtěl jsem říci, že uvedená definice se snaží obejít pojem "s opakováním" a místo toho zavádí pojem "typ". Ve zcela analogickém, jen více technicky náročném kontextu.

Uvedená definice variace vychází z pojmu zobrazení, přičemž předpokládá dobré zvládnutí tohoto pojmu. Moje zkušenost se studenty techniky je, že zobrazení je téměř výhradně probíráno na nekonečných spojitých množinách (nerozlišujeme "zobrazení" a "funkce"). Naproti tomu mají informatici dobře zažitý pojem posloupnosti (jednorozměrné pole) a tak variace zavádíme jako posloupnosti, jejíž prvky vybíráme (s opakováním/bez opakování) z nějaké konečné množiny.

Největším kamenem úrazu nejsou definice ani vzorečky (u zkoušky je povolena jedna strana A4 s poznámkami), ale samotné porozumění zadání u slovních úloh. V kombinatorice tato slabina hodně vyčnívá. Srovnejme s diferenciálním počtem, limitami, integály, soustavy rovnic... Tam obvykle vzoreček trčí ze zadání.

Offline

 

#10 07. 10. 2010 11:20 — Editoval Rumburak (07. 10. 2010 14:06)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8653
Reputace:   498 
 

Re: Kombinatorika

↑ petrkovar:
Ten "typ" u "kombinace" jsem zavedl jen proto,  aby se jeho prostřednictvím zjednodušila definice kombinace bez opakování.   Bez tohoto
v podstatě pomocného pojmu by jistě bylo možno se obejít, pokud by se ukázalo, že další uplatnění už nemá.

Zkušenosti učitele respektuji a jsem rád, že jste (jsi) se se mnou o ně podělil. Hledisko učit látku takovým způsobem, aby počet studentů,
kteří ji správně pochopí a dovedou použít, byl co největší, je samozřejmě správné.

Mezi důvody, proč jsem se snažil najít ke SŠ kombinatorice alternativní cestu, hrál svoji významnou a možná i hlavní roli právě onen vzpomínaný
vzorec pro počet kombinací s opakováním, jehož důkaz metodou "oddělovačů", jak byl prezentován v učebnici,  jsem tehdy vůbec nepochopil
(což byla v "mé" matematice na SŠ jedna z velmi mála situací tohoto druhu a je možné, že i jediná, protože na další takovou se nepamatuji)
a myslím, že i dnes bych s tím měl problém, o naději takovýmto způsobem vzorec samostatně odvodit ani nemluvě - teprve přes ty funkce jsem
do toho začal vidět.

Možná že jenom nejsem "kombinatorický typ" -  i v běžném životě mne leká, musím-li čelit velkému množství možností. :-)

EDIT .  Zakončím tento příspěvek úsměvnou příhodou:  Jeden můj známý se sklony k lehce sadistickému humoru - učitel statistiky na VŠ -
také studentům povoloval u zkoušky "tahák" - ovšem pouze formátu A5 a tahák musel být "přihlášen".  Když jistý student přišel s tahákem
velikosti A4, dotyčný učitel mu jej přetrhl na dvě půlky a dal mu vybrat, kterou půlku si chce ponechat.

Offline

 

#11 07. 10. 2010 21:31 — Editoval petrkovar (06. 11. 2010 20:41)

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 994
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:My povolujeme jednu STRANU A4. S Möbiovým listem zatím nikdo nepřišel...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson