Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 10. 2010 18:09

Gustav;
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

Ahoj,
mám třeba příklad

$(3 - \sqrt2)^{5!}$

Jak zjistím poslední cifru celé části, resp. jestli je sudá nebo lichá.

Nežádám o radu jak to celé udělat. Spíš jen nějakou nakopávací radu.

Předem díky
Gustav

Offline

 

#2 08. 10. 2010 18:31

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

Zdravím, vzhledem k tomu, že jde v podstatě o aktuální sedmou úlohu v PraSeti, navrhuji odložit odpověď až na úterý.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#3 08. 10. 2010 19:39

b.r.o.z1
Místo: Oktáva Gymnázium
Příspěvky: 367
Reputace:   15 
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

↑ Olin:
Zdravim:-) Jsi sikula, ze jsi si to vsiml ;-) Obdivuji ;-)

↑ Gustav;:
Pravidla jsou ti cizí? Tu se pomáhá těm, kteří něčemu nerozumí, nikoliv řeší soutěže. Soutěž je právě o tom, že se porovnávají schopnosti soutěžících, ne soutěžících, za které to vyřeší někdo jiný.
PRAVIDLA!!! 6. bod


"Vím, že nic nevím." Sokrates

Offline

 

#4 08. 10. 2010 19:46 — Editoval Olin (08. 10. 2010 19:48)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

↑ b.r.o.z1:
Také zdravím, osobně bych nevolil tak ostré formulace, přece jen ctím presumpci neviny. Dokáži si dost dobře představit, že to nemá s prasetem nic společného a jde o náhodu.

Jinak vzhledem k tomu, že jsem byl jedním z lidí, kteří do této série úlohy vybírali, tak jsem to samozřejmě poznal :-) Jde o moc hezkou úlohu, která si právoplatně zaslouží být v sérii Triky.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#5 08. 10. 2010 22:24

Gustav;
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

Je fakt, že jsem právě PraSe řešil. Proto jsem ale nespal přesné zadání a ani nechtěl úplný postup. Soudím však, že jakákoliv pomoc by asi byla velkým spoilerem, takže se tímto omouvám.

Jsem vážně zvědavý jak to je. Už asi na nic nepřijdu.

Offline

 

#6 08. 10. 2010 22:32

Gustav;
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

mimochodem, nenní tohle blbě? Vždyť to by potom platilo, že odmocnina ze dvou se rovná 1. Na levé straně asi taky má být celá čast n, nebo ne???


http://upload.wikimedia.org/math/a/4/b/a4b10f127da730b8653bd38bbff533bb.png

Offline

 

#7 09. 10. 2010 10:54

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

Domnívám se, že uvedený vzorec platí pouze pro $n \in \mathbb{Z},\, m \in \mathbb{N}$ (vzhledem k tomu, že na pravé straně je součet celých čísel, což je vždy celé číslo).


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#8 13. 10. 2010 00:44

Kondr
Veterán
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

↑ Olin: Prozradíš myšlenku řešení? Pro PraSečí úlohu trik znám, zde mi jasný není (teda možná by šlo ten, kterým jsem řešil PraSečí úlohu, nějak rozšířit, ale nebylo by to moc pěkné).


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#9 14. 10. 2010 22:17 — Editoval Olin (14. 10. 2010 22:17)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

↑ Kondr:
Prozradím řešení původní úlohy - pro zadanou úlohu mě nic moc nenapadá.

Podstatou je uvědomit si, že čísla $(\sqrt{2}+1)^{2010!}$ a $(\sqrt{2}-1)^{2010!}$ mají mnoho společného - totiž nejen že je jejich součin celé číslo (konkrétně jednička), ale dokonce i jejich součet je celé číslo - podle binomické věty totiž je

$(\sqrt{2}+1)^N = (\sqrt{2})^N + {N \choose 1} (\sqrt{2})^{N-1} + {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} + \dots + {N \choose N-1} \sqrt{2} + 1\nl (\sqrt{2}-1)^N = (\sqrt{2})^N - {N \choose 1} (\sqrt{2})^{N-1} + {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} - \dots - {N \choose N-1} \sqrt{2} + 1$

(označil jsem $N = 2010!$) a pokud tyto součty sečteme, odečtou se všechny členy, ve kterých je $\sqrt{2}$ v liché mocnině, a ty se sudou mocninou (tedy celé) se naopak sečtou:

$(\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N = 2 \cdot (\sqrt{2})^N + 0 + 2 \cdot {N \choose 2} (\sqrt{2})^{N-2} + \dots + 0 + 2 \cdot 1$

takže jde dokonce o sudé číslo. Avšak $\sqrt{2} - 1 < 1$, takže $(\sqrt{2}-1)^N < 1$. Odtud dostáváme, že $(\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N - 1 \, < \, (\sqrt{2}+1)^N \, < \, (\sqrt{2}+1)^N + (\sqrt{2}-1)^N$. Zbývá si rozmyslet, že to nám již paritu $\lfloor (\sqrt{2}+1)^N \rfloor$ jednoznačně určuje.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#10 15. 10. 2010 15:24

Kondr
Veterán
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Vysoká mocnina výrazu a jeho sudost či lichost

Jo, uvažoval jsem v podstatě stejně: $a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^{n}$ je posloupnost daná vztahy $a_0=2$, $a_1=2$ a $a_{n+2}=2a_{n-1}+a_{n}$, tudíž je tvořena celými sudými čísly, posloupnost $b_n=(1+\sqrt{2})^n$ je pro sudá $n$ o nějaký drobný zlomek menší, po zaokrouhlení dolů tedy dává liché číslo.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson