Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 03. 2011 11:14

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Suma s kombinačními čísly

Zdravím, prvně, problém mi přijde na SŠ těžký,
ale chtěl bych poprosit o pomoc, jak sečíst řadu 
$\sum_{k=2}^{m-2}{m\choose k}(k-1)!\Bigl(m-(k+1)\Bigr)! $

Děkuji


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) byk7)

#2 27. 03. 2011 11:31 — Editoval FailED (27. 03. 2011 11:35)

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: Suma s kombinačními čísly

${m\choose k}(k-1)!\(m-(k+1)\)!=m!\cdot\frac{1}{k (m-k)}=(m-1)!\cdot \(\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k}\)$

$\sum_{k=1}^m \(\frac{1}{k}+\frac{1}{m-k}\)=\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^m \frac{1}{m-k}=2\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}=2H_m$

Harmonická čísla dál upravovat neumíme.

$\frac{1}{k(m-k)}=\frac{1/m}{k}+\frac{1/m}{m-k}$

Offline

 

#3 27. 03. 2011 11:34 — Editoval Pavel Brožek (27. 03. 2011 11:35)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Suma s kombinačními čísly

Rozepiš si binomický koeficient, trochu upravuj. Pak ti zbude suma $\frac{1}{k(m-k)}$, tak to rolož na parciální zlomky (tj. najdi A a B takové, že $\frac{1}{k(m-k)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{m-k}$, existuje věta, která říká, že taková A a B existují). Rozděl to na dvě sumy, v jedné sčítej od konce, dostaneš tak dvě stejné sumy. Nakonec asi stejně musíš použít definici harmonického čísla, pomocí kterého výsledek vyjádříš.

Edit: Tak máš úplně stejný postup ze dvou zdrojů :-)

Offline

 

#4 27. 03. 2011 11:49

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Suma s kombinačními čísly

↑ FailED: jestli tomu správně rozumím, tak výsledný součet potom bude $2H_m\cdot (m-1)!$

Pavel: díky


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#5 27. 03. 2011 11:53 — Editoval FailED (27. 03. 2011 11:54)

FailED
Příspěvky: 1255
Reputace:   42 
 

Re: Suma s kombinačními čísly

↑ byk7:

Skoro, ta tvoje suma je pro k od 2 do m-2 tak musíš první a poslední člen odečíst.

Bude to $2H_m\cdot (m-1)!-2\frac{m!}{m-1}$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson