Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 04. 2011 12:54

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

náhodné veličiny

prosím o pomoc s tímto příkladem:

http://www.sdilej.eu/pics/c845e4d89e6c6a0961ffe1ce2bb8a2db.png

díky za pomoc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 28. 04. 2011 14:35

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: náhodné veličiny

použij Borelovo-Cantelliho lemma

Offline

 

#3 28. 04. 2011 14:44

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: náhodné veličiny

možná jsem s tím už pohla, mohl by mi prosím někdo říct, zda jsem se vydala správnou cestou?

$[Y_n > 2n] \Leftrightarrow [X_n + n > 2n] \Leftrightarrow [X_n > n]$
a jelikož $X_n$ jsou jevy nezávislé, potom i $Y_n$ jsou nezávislé a tedy použiju Borelovu větu.
$A_n = [X_n > n]$
$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \sum_{n=1}^\infty \int_n^\infty e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^n} < \infty$
tedy dle Borelovy věty $P(limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0$

$[Y_1 > \log(n)] \Leftrightarrow [X_1 + 1 > \log(n)] \Leftrightarrow [X_1 > \log(\frac{n}{e})]$
$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \sum_{n=1}^\infty \int_{\log(\frac{n}{e})}^\infty e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{e}{n} = \infty$
tedy dle Borelovy věty $P(limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 1$

a co se týká rozptylu, tak ten je invariantní vůči posunutí, takže platí $var X_n = var Y_n$
pak tedy:
$EX_n = \int_0^\infty x e^{-x} dx = 1$
$EX_n^2 = \int_0^\infty x^2 e^{-x} dx = 2$
$var Y_n = var X_n = EX_n^2 - (EX_n)^2 = 2 - 1 = 1$

Offline

 

#4 28. 04. 2011 14:51

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: náhodné veličiny

ad b) jsou jevy $[Y_1>\log(n)]$ nezávislý? (ono to zadání mi přijde podezřelý, čekal bych $Y_n$ místo $Y_1$)

Offline

 

#5 28. 04. 2011 15:00

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: náhodné veličiny

↑ Stýv:
No mě to nějak zarazilo, tak si nejsem moc jistá, jak to udělat.
Máš pravdu - nejsou nezávislé.
Nejspíš bych z toho měla dostat, že ta pravděpodobnost je rovna $lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e}{n} = 0$, ale opravdu netuším jak  a proč

Offline

 

#6 28. 04. 2011 15:43

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: náhodné veličiny

↑ drabi: tohle už je lepší

ps: je dobrý přidat zpětný lomítko: $\lim_{n\to\infty}$

Offline

 

#7 28. 04. 2011 15:48

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: náhodné veličiny

↑ Stýv:
ok:) jen prosím nevíš, jak k tomu dojít?

Offline

 

#8 28. 04. 2011 15:52

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: náhodné veličiny

↑ drabi: mně to přišlo tak nějak samozřejmý...

Offline

 

#9 28. 04. 2011 15:59

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: náhodné veličiny

↑ Stýv:
ok:) tak díky moc za pomoc a trpělivost

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson