Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 06. 2008 12:09

misickacz
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

integrály

Opět potřebuji pomoc:
- (x^2 - cosx)e^2x
- (x^3 + e^x)sin2x

Obojí by mělo být pomocí per partes, začala jsem roznásobením a pak integrály z jednotlivých částí, ale vždy mi tam vyjdeintegrál z e na mocninu a s ním sinus nebo cosinus a nevím co s tím, protože integrace nebo derivace e je stále e a sinus nebo cosinus se pořád mění na cosinus nebo sinus. Tak co s tím?

Všem předem děkuji za pomoc.

Offline

 

#2 07. 06. 2008 12:40 — Editoval plisna (07. 06. 2008 12:49)

plisna
Místo: Brno
Příspěvky: 1503
Reputace:   
 

Re: integrály

naznacim prvni: uprav si vyraz na tvar $(x^2-\cos x) \mathrm{e}^{2x} = x^2\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^{2x}\cos x$. integrovat prvni clen per partes neni problem, po dvojnasobnem pouziti polynom "zmizi" a exponenciela se jiz snadno zitregruje. druhy se udela nasledujicim zpusobem, protoze jak jsi spravne rekla, exponenciely ani sinu nebo kosinu se per partesenim nezbavis.

$$$\int \mathrm{e}^{2x}\cos x \,\mathrm{d}x = \left| \begin{array}{cc}u=\mathrm{e}^{2x}&v' = \cos x\\u' = 2\mathrm{e}^{2x}&v=\sin x \end{array} \right| = \mathrm{e}^{2x} \sin x - 2 \int \mathrm{e}^{2x} \sin x \,\mathrm{d}x + C= \left| \begin{array}{cc}u=\mathrm{e}^{2x}&v' = \sin x\\u' = 2\mathrm{e}^{2x}&v=-\cos x \end{array} \right| =\\= \mathrm{e}^{2x} \sin x - 2 \left( -\mathrm{e}^{2x} \cos x + 2 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x \right) + C = \mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x - 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x + C$$$

nyni si vsimni, ze se nam per partesenim znovu objevil integral $\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x$. znovu opakovat per partes by nemelo smysl - dvakrat bychom jej opakovali a opet by jsme se dostali k temuz problemu. muzeme vsak sestavit rovnici - leva strana, tj. zadani, se musi rovnat prave strane, tedy mame rovnici

$\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x - 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x + C$

tedy upravami dostavame

$5 \int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x + C$

a konecne

$\int \mathrm{e}^{2x} \cos x \,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{2x} \sin x + 2 \mathrm{e}^{2x} \cos x}{5} + C$

Offline

 

#3 07. 06. 2008 18:00

misickacz
Příspěvky: 34
Reputace:   
 

Re: integrály

↑ plisna:
Tak to je dost rafinovaný postup, to by mě ani náhodou nenapadlo. Ten druhý tedy bude na stejném principu, že.  Moc děkuji za pomoc.

Offline

 

#4 21. 06. 2008 14:26

Brekeke
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: integrály

Poradíte mi prosím s integrálem od 0 do pí/2   3 sin^3 (x)
sin^3 x jsem rozložila na sin^2 x * sin x, dále pak (1 - cos^2 x) * sin x, pak jsem subtituovala cos x. Pořád mi to ale vychází divně :(

Offline

 

#5 21. 06. 2008 14:53

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: integrály

↑ Brekeke:

vsechno delas dobre. Pozor na znamenka, jinak tam zadne riziko nevidim. Napis, prosim vysledek integralu nebo si ho over tady: http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess … unction.en

Offline

 

#6 21. 06. 2008 17:23 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:25)

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: integrály

$\int sin^3xdx=\int sin^2x\cdot sinx dx$ budeme počítat metodou per partes
$u=sin^2x\nlv^,=sinx\nlu^,=2sinxcosx\nlv=-cosx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx-\int 2sinxcosx(-cosx)dx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx+2\int sinxcos^2xdx$
$\int sin^3xdx=-sin^2xcosx+2\int sinx(1-sin^2x)dx$
$\int sin^3x=-sin^2xcosx+2\int sinxdx-2\int sin^3xdx$
$3\int sin^3x=-sin^2xcosx-2cosx$
Na levé straně rovnice máme nyní výraz, který jsme měli  původně integrovat upravíme a dostaneme:
$3\int sin^3x=-cosx(sin^2x+2)$
Je třeba si uvědomit:
$sin 0=0\nlcos 0=1\nlsin\frac\pi2=1\nlcos\frac\pi2=0$
Do výsledku dosadíme meze pro určitý integrál a dostaneme:
$-cos\frac\pi{2}(sin\pi/2+2)-(-cos 0(sin^2 0+2)=2$

Offline

 

#7 21. 06. 2008 17:27

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: integrály

↑ Chrpa:

Zdravim :-) 

a proc ne substituce?

Offline

 

#8 21. 06. 2008 17:33 — Editoval Chrpa (21. 06. 2008 17:34)

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: integrály

↑ jelena:
Zdravstvuj Jelena já jsem to po pravdě řečeno substitucí nezkoušel.
Ještě k příkladu od ttopi
Trojúhelník už počítám přes hodinu a k žádnému výsledku jsem zatím nedospěl.
Snad jen k tomu, že výška je kolmá ke straně.

Offline

 

#9 21. 06. 2008 18:04

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: integrály

↑ Chrpa:
Tak to teda koukám.
Dobrá tedy. Určitě jsi si udělal vektor AB (4;1) a z vektoru na něj kolmý (-1;4) udělal obecnou rovnici výšky na stranu c=AB. Dále sis pak určitě udělal vektor AC, který je (a;b) a z vektoru na něj kolmý (-b;a) obecnou rovnici výšky na stranu AC. Máš tedy 2 rovnice a hledaný bod je vlastně průsečík těchto přímek (průsečík výšek).
Když budeš soustavu řešit, určitě ti to rozumně vyjde :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#10 21. 06. 2008 18:07

Brekeke
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: integrály

Když to dělám tou substitucí, tak mi to vychází 3pí (vim že je to špatně ale prosím koukněte mi na to kde dělám chybu)

3∫ (1-cos^2  x) sin x dx= 3∫ (1 - t^2) sin x ( - dt/sin x) = 3∫ - (1 - t^2) dt = 3 [ 2t ]. Pak dosadím meze a vyjde mi 3pí
cos x = t
dt = - sin x dx
dx = -dt/sin x

Offline

 

#11 21. 06. 2008 18:09

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: integrály

↑ ttopi:
Jo, přesně tohle jsem sice udělal, ale dál už mě ty rovnice jaksi nevychází.
Prostě jsem se do toho zamotal tak, že bude asi lepší začít úplně od začátku.

Offline

 

#12 21. 06. 2008 18:15

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: integrály

↑ Brekeke:

3∫ - (1 - t^2) dt = 3 [ 2t ]  - toto neni dobre.

Ma vychazet prece -3 (t - t^3/3) pak jeste vratit substituci - misto t cos x . A az pak meze a vychazi to stejne jako kolega ↑ Chrpa: 2.

↑ Chrpa:↑ ttopi:  musim trochu nastolit poradek - presunte tu debatu o vyskach tam, kde ma byt :-)  Tady to zbytecne mate :-) Dekuji :-)

Offline

 

#13 21. 06. 2008 18:28

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: integrály

↑ Brekeke:
Po úpravě té substituce ti vyjde inegrál:
$-3\int (1-t^2)dt=\frac{3t^3}{3}-3t=t^3-3t$
Vrátíme se k substituci $cosx=t$ a výsledek bude:
$cos^3x-3cosx$
Pak už stačí dosadit meze a vyjde výsledek 2
Dosazením meze $\frac\pi2$ vyjde 0 (cos 90 = 0)
Dosazením meze$0$ vyjde:
$-(1-3)=3-1=2$

Offline

 

#14 21. 06. 2008 18:33

Chrpa
Příspěvky: 1667
Reputace:   35 
 

Re: integrály

↑ jelena:
Máš Jelenko jako vždy pravdu. Témata se nemají míchat dohromady, pak je v tom "bordel".
Substitucí je výpočet toho integrálu o hodně snažší než tou mou metodou per partes
Mimochodem kdybych pokračoval v úpravách toho mého výsledku, tak dojdu k úplně stejnému řesšení jako v případě substituce.
Na papíře už jsem to dokázal.

Offline

 

#15 21. 06. 2008 19:54

Brekeke
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: integrály

↑ Chrpa:   ↑ jelena:
Máte samozřejmě pravdu, sem to nakonci derivovala místo integrovala!
A můžete mi ještě poradit v čem pak dělám chybu, dyž mi to vychází tak jak napsal Chrpa $-3\int (1-t^2)dt$ ale pak dál počítám -3 [ t - t^3/3 ] , pak -3 [cos x - cos^3 x/ 3], no a teďka dosazuju meze do tý závorky 0 - 0 - 1 - 1/3, pak násobím -3 a vychází mi 4

Offline

 

#16 21. 06. 2008 20:07

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: integrály

↑ Brekeke:

0 - 0 - 1 - 1/3 - to neni OK, bohuzel :-( chybi zavorky.

-3 [cos x - cos^3 x/ 3] = -3 [(0 - 0/3)-(1-1/3)] = -3 [0 - 2/3] = 2

OK?

Offline

 

#17 21. 06. 2008 20:18

Brekeke
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: integrály

jojojo díky moc. Co bych si bez tebe počala (a bez ostatních tady taky)

Offline

 

#18 21. 06. 2008 20:43

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: integrály

↑ Brekeke:

Bez nas :-)  ?  Urcite by to mohlo byt i neco zabavnejsiho, nez matematika, ale s nami je take zabava :-)

Offline

 

#19 22. 06. 2008 14:47

Brekeke
Příspěvky: 47
Reputace:   
 

Re: integrály

↑ jelena:
Tak to já věřím že je s váma zábava, to neříkám že ne :)) ale momentálně mi dost pomáháte, tak doufám že tu zkoušku konečně dám.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson