Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 06. 2011 17:18 — Editoval furbyscotty (10. 06. 2011 17:39)

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Extrémy se dvěma proměnnými

Ahoj, mohl byste mi někdo prosím poradit? Mám zadanou funkci f(x,y)= x^3+y^3-3xy     na množině M=<0,2> x <-1,2>
Pomocí parciální derivace prvního řádu si najdu podezřelé body vnitřní, ale na vazbě už nevím, jak to mám hledat. Ve všech ostatních cvičeních je totiž daná množina v podobě funkce jako x^2+y^2<=25 nebo tak, ale tohle jsou jen nějaké intervaly...
Výsledek má být: maximum f(x,y)=f(2,-1)=13 a minimum f(x,y)=f(1,1)=-1
Mohl byste prosím někdo poradit, co ta množina znamená? Moc děkuji

EDIT: Prosím, poraďte mi někdo jak na to, já vůbec netušim jak to s tou množinou udělat.

Offline

 

#2 10. 06. 2011 17:19

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Ta množina vypadá jako obdélník.

Offline

 

#3 10. 06. 2011 17:24

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
Děkuju, a jak ten obdélník vypadá?

Offline

 

#4 10. 06. 2011 17:27

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Tak ono to ze zápisu vypadá (on není úplně jednoznačny, ale budiž), že $x$ bude z <0,2> a $y$ z <-1,2>.

Offline

 

#5 10. 06. 2011 17:30

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
a když budu hledat body na té vazbě, tak jak bych to měla provést? Neumím si představit, jak bych s tím dělala jakobiána nebo dosazovací metodu...

Offline

 

#6 10. 06. 2011 17:42

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Na hranici budete resit extrem jedne promenne, zadne jakobiany netreba.

Offline

 

#7 10. 06. 2011 17:47

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
já se fakt snažim, ale nerozumim tomu

Offline

 

#8 10. 06. 2011 18:08

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Tak tedy jinak:

Víte, jak vypadá graf funkce, která bere dvě proměnné? Máte dvojrozměrnou plochu, ze které berete vstupní proměnné (x, y) a do třetího rozměru se promítají jejich funkční hodnoty. Na vnitřní části té množiny se extrémy hledají jednoduše, tam najdete podezřelé body pomocí derivací (nebo jejich absencí) a ty pak ověříte pomocí jakobiánu/hesse/nevímčeho.

Problém je na hranici té množiny. Tam derivace dělat nemůžete, protože

1) za tou hranicí ani ta funkce definovaná být nemusí

2) nulová derivace tam nic neznamená.



---

Zpět ke grafu. Vy řešíte tedy hranici toho obdélníku. To znamená, že pro dvě ze 4 hran máte zafixované x, pro druhé dvě máte zafixované y. Takže vlastně hledáte extrém na řezu té původní funkce... což je funkce jedné proměnné. (Můžete to brát jako parciální derivaci s jednou proměnnou dosazenou.)

---

Snad jsem to dostatečně vysvětlil, kdyžtak se ptejte dál.

Offline

 

#9 10. 06. 2011 18:17 — Editoval furbyscotty (10. 06. 2011 18:26)

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
Moc děkuju, že se mi tak snažíte pomoc. Stále tomu moc nerozumím, mám tedy postupovat tak, že si udělám parciální derivaci té funkce x^3+y^3-3xy a dosadím ty body z množiny? Ale jakým způsobem ty body dosadím, když mám dva body x a dva body y.

Offline

 

#10 10. 06. 2011 18:29

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Je třeba vědět, jaké body máte na mysli.

Když si nakreslíte ten obdélník, tak vidíte, že její pravá hrana má jednu věc společnou — všechny body mají x-ovu souřadnici rovnu dvěma. Dosadíte dvojku do funkčního předpisu a řešíte extrém funkce f(2,y) pro y z <-1,2>.

POZOR: Jak jsem již psal výše. Extrém na omezené množině může být i v krajním bodě (viz příklad y = x). Proto kromě bodů s nulovými derivacemi nás budou zajímat i ty rohy obdélníku. Jelikož derivace je definovaná všude, budou nás zajímat:

1) Stacionární body na vnitřku množiny.

2) Stacionární body na hranách.

3) Rohy.

Offline

 

#11 10. 06. 2011 18:37

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
Nerozumím tomu, jak jste přišel na to, že pravá hrana trojúhelníku má všechny x-souřednice 2. Já těm bodům v té množině nerozumím, nevím, který co říká. Udělám si tedy f(2,y)=8+y^3-6y, z toho první derivaci f'(2,y)=(3y^2)-6, to dám do rovnosti s nulou a vyjde mi y=sqr 2, y=-sqr 2. Odmocnina ze dvou do toho intervalu <-1,2> patří. Teď nevím, jak dopočítat x a jak postupovat dále.

Offline

 

#12 10. 06. 2011 18:38

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Když tomu nerozumíte, tak zatím nejděte dále, prosím. Hezky postupně. Nakreslete si tu množinu napřed a zkuste tam najít ty "společné vlastnosti" těch hran. Vždy bude buď x, nebo y konstantní na každé hraně.

Offline

 

#13 10. 06. 2011 18:52

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
už jsem konečně přišla na to, jak to vypadá. Nakreslila jsem to a rozumím tomu, že pravá strana má všechny hodnoty x=2.

Offline

 

#14 10. 06. 2011 18:59

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Super, takže na tom řezu budeme zkoumat extrémy funkce f(2,y), což jste už provedla. Teď si dejte pozor, aby ty stacionární body byly z toho intervalu, kde máme y, tj. <-1,2>.

Stejně tak postupujte u zbylých 3 hran a nezapomeňte na rohy.

Offline

 

#15 10. 06. 2011 19:14

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
dosadila jsem každý z těch bodů do funkce, udělala derivaci první, dala ji rovnu nule, vyšel mi vždy nějaký bod, ale ani jeden není napsán v tom řešení ve skriptech.

Offline

 

#16 10. 06. 2011 19:18

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Tam jde o to, jaké je zadání. Pokud se po tobě chce akorát absolutní extrém, tak jen porovnáš všechny ty podezřelé body (resp. jejich funkční hodnoty).

Pokud by šlo o lokální extrémy, tak bys to ještě dále musela vše počítat.

---

Já za chvíli odjíždím do víru velkoměsta, takže budu na příjmu jen částečně. Tak kdyby byl potřeba nějaký delší výklad, tak mě zde určitě někdo nahradí.

Offline

 

#17 10. 06. 2011 19:24

furbyscotty
Příspěvky: 108
Reputace:   
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

↑ halogan:
Děkuju za pomoc, ale asi nejsem schopná to takto pochopit, budu doufat, že to v testu nebude. Moc děkuju a užij si to venku. Pa

Offline

 

#18 10. 06. 2011 19:36

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Extrémy se dvěma proměnnými

Podívej se na tuto fotku a představ si, že ta lahev je podélně rozříznuta, že jen ta horní část je grafem nějaké funkce. Dále si představ, že ten černý obdélník je naše funkce a dejme tomu, že v tom bodě, kde je hvězdička, je více propadnutá směrem dolů (aby tam byl absolutní extrém).

Pak jasně vidíš, že na té hraně, kterou jsem více zvýraznil, je lokální extrém (vyznačen křížkem)... je to jednoduchá funkce jedné proměnné, řez funkce dvou proměnných. Nic nám to ale neříká o tom, zda to je či není extrém celé funkce.

---

Opravdu mi tady chybí původní zadání té úlohy, jinak mohu pouze hádat. Snad jsem ti alespoň trochu přiblížil problematiku extrémů a konečně jsem využil ty válející se prázdné PET lahve :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson