Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 06. 2011 22:19

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

rozvoj do řady - Taylor

ahoj,
vůbec si nevím rady s tímto příkladem..
Pokud by byl někdo ochoten mi věnovat pár minut, budu moc ráda

http://forum.matweb.cz/upload3/img/2011-06/96373_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 13. 06. 2011 23:42

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

taylorův rozvoj znáš?

Offline

 

#3 14. 06. 2011 09:22

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ Stýv:
znám, ale upřímně mi moc není jasné, jak to tam napasovat

Offline

 

#4 14. 06. 2011 10:24

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

prostě máš udělat taylorův rozvoj f v bodě 0

Offline

 

#5 14. 06. 2011 11:41

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ Stýv:
$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$????

jako moc tomu nerozumím, omlouvám se za natvrdlost, ale mohl bys mi to prosím trochu rozepsat?

Offline

 

#6 14. 06. 2011 11:55

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

vzoreček máš správnej, teď jenom vypočítat derivace f v 0 a dosadit. před výpočtem derivací doporučuju rozložit na parciální zlomky, pak to půjde snáz

Offline

 

#7 14. 06. 2011 12:54 — Editoval drabi (14. 06. 2011 13:58)

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ Stýv:
$f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2}$
$f^{(1)}(x) = \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-2)^2}$
$f^{(2)}(x) = -\frac{2}{(x-1)^3} + \frac{4}{(x-2)^3}$
.
.
.
$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n+1} n!}{(x-1)^{n+1}} + \frac{2(-1)^{n} n!}{(x-2)^{n+1}}$

potom teda

$f^{(5)}(x) = \frac{5!}{(x-1)^6} - \frac{2 * 5!}{(x-2)^6}$
$f^{(5)}(0) = \frac{5!}{(0-1)^6} - \frac{2 * 5!}{(0-2)^6} = 5! - \frac{2*5!}{2^6}=116.25$
a ta řada je tedy:
$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} n!}{(-1)^{n+1}} - \frac{2(-1)^{n} n!}{(-2)^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty n! - n! \left(\frac{1}{2}\right)^n  $

snad už je to dobře
každopádně děkuju mockrát za trpělivost a omlouvám se, že mi to tak trvalo
přeju pěkný den

Offline

 

#8 14. 06. 2011 13:44

LukasM
Příspěvky: 3150
Reputace:   187 
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ drabi:
To ale není dobře. Se vším souhlasím (až na jednu tiskovou chybu, tam co máš 25!), ale poslední řádek je špatně. Především by asi bylo záhodno, aby ta řada obsahovala x. Špatně dosazuješ do toho vzorce co jsi psala o příspěvek dřív. Také tam trochu hapruje jedno znaménko, jestli se nepletu (v tom mezikroku).

Kontrola tady.

Offline

 

#9 14. 06. 2011 14:04

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ LukasM:

jo jasně, trochu jsem se unáhlila

takže má to být takto?
$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{n=1}^\infty \frac{n! - n! \left(\frac{1}{2}\right)^n}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right] x^n $


ale nevidím, kdeže jsem se to ve znamínku přepsala?

Offline

 

#10 14. 06. 2011 14:10

LukasM
Příspěvky: 3150
Reputace:   187 
 

Re: rozvoj do řady - Taylor

↑ drabi:
Jo, to už vypadá líp.

Přepsala ses na tom řádku co byl špatně, takže to nemusíš dál řešit. Mezi těmi zlomky měl být plus, viz. ten odvozený vztah pro n-tou derivaci.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson