Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 07. 2008 21:30

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Hilbertuv hotel

Dnes jsem se trosku propadl do uvah o nekonecnu a pritom jsem si vzpomnel na jednu znamou matematickou hricku s aktualnim nekonecnem. Pokud ji jeste neznate, a mate radi zajimave ulohy, zkuste potrapit sve mozky.

ZADANI:
Mejme hotel, ktery obsahuje nekonecne mnoho pokoju. Kazdy pokoj je ocislovan jednim prirozenym ciselem, tedy je pokoju stejne, jako vsech prirozenych cisel a do kazdeho pokoje se vejde jeden host. Akceptujme rovnez takzvanou toerii nekonecneho autobusu (vagonu), ktera rika, ze do plneho autobusu (vagonu) se vzdycky jeste jeden clovek vejde :-).
Nas hotel je jiz plne obsazen, v kazdem pokoji tedy bydli prave jeden host. Hoste jsou ale ochotni se stehovat a to tak, ze se radi prestehuji ze stavajiciho do jineho pokoje, staci kdyz jim reknem cislo tohoto noveho pokoje. Jako recepcni stojite pred nasledujicim problemem:

a) * jak ubytovat nove prichoziho hosta?
b) * jak ubytovat 'n' nove prichozich hostu?
c) ** jak ubytovat autobus nekonecne mnoha hostu?
d) ** jak ubytovat 'n' autobusu nekonecne mnoha hostu?
e) **** jak ubytovat vlak, ktery ma nekonecne mnoho vagonu, kde v kazdem vagonu je nekonecne mnoho hostu?

Pocet hvezdicek znaci obtiznost prikladu. Kdykoliv je receno 'nekonecne mnoho' mysli se tim 'tolik, jako vsech prirozenych cisel'.

POZN. Problem je dosti znamy, takze se da snadno vygooglit reseni. Koho toto zajima, zkuste se prosim nejdriv sami zamyslet. Prvni ctyry otazky jsou snadne az te ctrvta je tak trosku orisek. Zajimalo by me, jake reseni vas napadne...


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#2 16. 07. 2008 14:56

sneakfast
Příspěvky: 99
Reputace:   
 

Re: Hilbertuv hotel

ta poslední mi tedy vrtá hlavou

Offline

 

#3 16. 07. 2008 16:35

matoxy
Místo: Lučenec/Martin
Příspěvky: 443
Reputace:   
 

Re: Hilbertuv hotel

To a.) a b.) som už počul no to ďalej nie a pre c.) Vychádzam z úvahy: $\infty + \infty = \infty$ a mám takéto riešenie: vys?ahujem tých čo tam sú, pomiešam s tými s autobusu a nas?ahujem. Môže by?? d.) obdobne.
hmmm... keďže by som podobne riešil aj e.), tak začínam ma? pocit, že to tak nebude.


You know who
(or maybe not)

Offline

 

#4 16. 07. 2008 16:59

sneakfast
Příspěvky: 99
Reputace:   
 

Re: Hilbertuv hotel

↑ matoxy:

myslím, že účelem je najít nějakou zabydlovací funkci, kde každému nově příchozímu přiřadíš číslo pokoje a stávajícím taktéž, aby nenastaly kolize.

Offline

 

#5 16. 07. 2008 17:09

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

↑ matoxy:

Potiz je jednak se zadanim prikladu, nebot stavajici hoste se stehuji jen v ramci hotelu, a nepujdou uz zpatky do autobusu. Jednak neni jasne, jak tyto lidi promicham s lidmi v autobusu, autobus je prece plny, stejne jako hotel. Ten vyraz oo + oo = oo nam v podstate rika, ze to nastehovani provest lze. Ukolem je vymyslet jak, tady najit zabydlovaci funkci (viz. ↑ sneakfast:)


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#6 16. 07. 2008 20:18

thriller
Moderátor
Místo: Libush
Příspěvky: 947
Reputace:   24 
 

Re: Hilbertuv hotel

Myslím, že řešení toho "c" je obdobou důkazu toho, že množina celých čísel je spočetná a řešení "e" je obdobou toho, že množina racionálních čísel je spočetná, je to tak?


100*0>0 aneb stokrát nic umořilo osla

Offline

 

#7 16. 07. 2008 20:57

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Hilbertuv hotel

Každému hostu přiřaďme číslo pokoje x, v němž daný host bydlí.

ad a) požádáme hosty, aby se přestěhovali do pokoje č. x+1. Tím pádem se uvolní pokoj č.1.
ad b) požádáme hosty, aby se přestěhovali do pokoje č. x+n. Tím pádem se uvolní pokoje č. 1, 2, ..., n.
ad c) požádáme hosty, aby se přestěhovali do pokoje č. 2x. Tím pádem se uvolní pokoje, jež jsou označeny lichými čísly. A těch bude nekonečně mnoho.
ad d) požádáme hosty, aby se přestěhovali do pokoje č. (n+1)x. Tím pádem se uvolní pokoje s čísly, jež po dělení číslem n+1 dává zbytek 1. Těch je nekonečně mnoho. Zde ubytuji 1. autobus. Dále se uvolní pokoje s čísly, jež po dělení číslem n+1 dává zbytek 2. Těch je také nekonečně mnoho. Zde ubytuji 2. autobus. Dále se uvolní pokoje s čísly, jež po dělení číslem n+1 dává zbytek 3. Těch je také nekonečně mnoho. Zde ubytuji 3. autobus. atd. Až nakonec n-tý autobus ubytuji do pokojů s čísly, jež po dělení číslem n+1 dává zbytek n. Těch je také nekonečně mnoho
ad e) požádáme hosty, aby se přestěhovali do pokoje 2^x ("^" znamená mocninu). Cestující z 1. autobusu ubytujeme do pokojů, jejichž čísla lze vyjádřit jako mocninu 3 (3,9,27,81,243,729,...). Cestující z 2. autobusu ubytujeme do pokojů, jejichž čísla lze vyjádřit jako mocninu 5 (5,25,125,625,3125,...). Cestující z 3. autobusu ubytujeme do pokojů, jejichž čísla lze vyjádřit jako mocninu 7 (7,49,343,...). Cestující ze 4. autobusu ubytujeme do pokojů, jejichž čísla lze vyjádřit jako mocninu 11 (11,121,1331,...) atd. Obecně, Cestující z n. autobusu ubytujeme do pokojů, jejichž čísla lze vyjádřit jako mocninu (n+1). prvočísla, které bereme z rostoucí posloupnosti všech prvočísel (2,3,5,7,11,13,17,19,atd.) Protože prvočísel je nekonečně mnoho, budou nakonec ubytování všichni cestující z vlaku a navíc nekonečně mnoho pokojů zůstane neobsazeno (pokoje, jejichž čísla lze vyjádřit jako součin alespoň dvou různých prvočísel).


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#8 16. 07. 2008 23:04

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

Gratulace Pavlovi za hezke reseni. Puvodne jsem mel na mysli doslova totez, nicmene jsem se rozhodl hledat jeste jine reseni, nebot:

1) nalezeni n-teho prvocisla je netrivialni problem alespon v tom smyslu ze neni zadny explicitni vzorec, ktery by takove cislo umoznil spocitat
2) v hotelu zustanou volna mista

Nasel jsem reseni, ktere v pripade e) zaplni cely hotel tak, ze opet nezbudou zadne volne pokoje a to tak, ze pro kazdeho cloveka v hotelu tak pro lidi v autobusech existuje explicitni vzorecek, prirazujici jim cislo pokoje.

Zde je ukol: Naleznete dve funkce f(n) a g(n, k) takove, ze hodnota f(n) je cislo pokoje, do ktereho se ma prestehovat host bydlici v n-tem pokoji a hodnota g(n, k) je cislo pokoje, kam se nastehuje host sedici na n-te sedacce z k-teho vagonu (sedacky i vagony opet cislujeme prirozenymy cisly tak jako pokoje v hotelu). Zadny pokoj v hotelu pritom nesmi zustat neobsazeny.

Reseni prosim nepiste do tohoto vlakna ani jinam na forum. Poslete mi je na mail ( lishaak[at]matfyz.cz ) spolu s vasi prezdivkou zde na foru. Bude-li reseni spravne, budete uvedeni v nasledujicim seznamu uspesnych resitelu i s casem prijeti vaseho mailu. Reseni by melo obsahovat jak funkce f, g tak strucne a vystizne zduvodneni toho, proc funguji a proc nezustane zadny pokoj prazdny.

Prestoze muze ukol na prvni pohled vypadat slozite, neni to nijak strasne, princip je celkem jednoduchy. Netreba zadnou vyssi matematiku. Staci zdravy rozum a troska duvtipu pri odvozovani zvorecku...

USPESNI RESITELE:

Lishaak           16.7.2008 22:00
Marian            17.7 2008 1:45 *
Pavel              18.7 2008 1:15

Hvezdicka znamena, ze reseni bylo vyrazne lepsi (snadneji odvozene, jednodussi vzorce pro funkce 'f' a 'g') nez moje.


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#9 17. 07. 2008 09:03

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Hilbertuv hotel

d) Vyzve hosta z pokoje s číslem 1, aby se přestěhoval do pokoje s číslem 2. Host z pokoje s číslem 2 se přestěhuje do pokoje s číslem 4. Host z pokoje s číslem 3 se přestěhuje do pokoje s číslem 6, a tak dále. To znamená, že hosté budou nyní ubytováni v pokojích se sudými čísly. Potom všem novým hostům dá lichá čísla pokojů
 

e) Recepční přestěhuje všechny stávající hosty stejně jako v případu d) (hosté budou ubytováni s pokoji se sudými čísly). Nyní vagonům přidělí prvočísla počínaje číslem 3 (takže vagony budou mít čísla 3,5,7,11,13,… ∞).Každé sedadlo v každém vagonu rovněž očísluje čísly 1,2,3,… ∞. Každému novému hostu pak přidělí číslo pokoje, které dostane jako výsledek mocniny čísla vagonu umocněný číslem sedadla (tak např. noví hosté z vagonu s číslem 3 budou mít pokoje s čísly 3,9,27,81,… ∞, zvagonu s číslem 5 pak pokoje s čísly 5,25,125,625,.. ∞ atd.). Tím dostane jedinečná lichá čísla (prvočíslo (vyjma čísla 2) umocněné na libovolné přirozené číslo je opět liché číslo a toto číslo se neopakuje u žádného jiného umocněného prvočísla). Tak obsadí některé pokoje s lichými čísly.


Nikdo není dokonalý

Offline

 

#10 17. 07. 2008 11:42

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

↑ Cheop:

Taky mozne reseni, prestoze temer stejne jako reseni ↑ Pavel:. Jestli si troufas, zkus vymyslet tohle ↑ Lishaak:


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#11 23. 07. 2008 20:55

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Hilbertuv hotel

Doplnil bych další úkol:

f) jak ubytovat nekonečně mnoho vlaků, který má nekonečně mnoho vagonů, kde v každém vagonu je nekonečně mnoho hostů? :-)

a šel bych dál - takovéto rozdělení na nekonečně mnoho částí bych provedl n-krát, takže by se jednalo o vlakovou soupravu skládající se z nekonečně mnoha podsouprav, označme je jako podsouprava 1. úrovně, každá z nich by obsahovala nekonečně mnoho dalších podsouprav (2.druhu) atd, až bych došel k podsoupravě (n-1). druhu. V každé z nich sedí nekonečně mnoho cestujících. Jak by vypadal předpis, který by tyto cestující ubytoval do Hilbertova hotelu tak, aby žádný pokoj nezůstal prázdný? :-)


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#12 23. 07. 2008 21:34

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

Vazeni pratele, jelikoz uz se nikdo neoziva, povazuji tuto zoutez za ukoncenou. Trosku skoda, ze se do ni nezapojilo vice zdejsich mozku. Zrejme to maji na svedomi prazdniny, kdy se lenosivym matematikum nechce prmyslet o nekonecnech :-). V nejblizssi dobe sem napisu Pavlovo, Marianovo a moje puvodni reseni.

↑ Pavel:

Resit takovou ulohu je v principu lehke, pouzijeme-li Marianuv napad s Cantorou parovaci funkci (v dohledne dobe podrobne popisu), kterou pouzijeme rekurzivne (nejdrive z m-tic udelame (m-1)-tice atd). Pokud nam ovsem nevadi, ze cim vice bude takovych podsouprav, tim bude vypocet cisla pokoje delsi ve smyslu rekurzivniho zanoreni.

Z meho pohledu je zajimavejsi tento napad:

h) Na Hilbertovo vesmine parkoviste kosmickych lodi (hadeje, kolik takove prakoviste obsahuje parkovacich mist) prileti nekonecne mnoho kosmickych lodi. Kazde takova kosmicka lod v sobe veze nekonecne mnoho lodi tehoz typu (tzn. tyto vezene lode vezou kazda nekonecne mnoho dalsich lodi, tyto lodi zase nekonecne mnoho dalsich lodi a tak dale az do nekonecna). Nyni je ukolem rozhnodout, zda se vsechny tyto lode vejdou na parkoviste, i kdyz je na zacatku uplne prazdne. Zkusenejsi kolegove samozrejme ihned tusi odpoved. Nicmene ja se ptam na toto:

Je tento pripad ekvivalnentni s tim, kdy do hotelu prijede vlak kde v prvnim vagonu jsou dva cestujici, v druhem ctyri a v kazdem dalsim dvonasobek nez v predchozim? Tedy je pocet novych cestujicich stejny jako pocet pokoju v hotelu nebo jako pocet vsech vesmirnych lodi?

Na posledni otazku sam zatim neznam uspokojivou odpoved...


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#13 23. 07. 2008 22:56

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

Pokud poslední dvě otázky nejsou "soutěžní", tak bych si dovolil k nim něco napsat:

Vlak s 1+2+4+8+... cestujícími lze v pohodě ubytovat v každém běžném nekonečném hotelu.
Stačí když i-tého člověka z j-tého vagónu nastěhuju do patra 2^(j-1)+i.

K přeplnění standardního parkoviště však stačí, pokud na něj přijede jedna loď typu A (každá loď typu A má naloženy dvě lodě typu A) a pokusí se vyložit všechny lodě, které má naložené. Pokud by ale parkoviště mělo mocnost kontinua (tedy bylo by ve vesmíru, který není kvantovaný a lodě by byly hmotné body), pak by vyložení možné bylo.

Proč? Každé lodi přiřadím číslo. Vnější loď bude mít číslo 0.1. Lodě co jsou na ní 0.10 a 0.11. Lodě co jsou na první z nich budou 0.100 a 0.101, lodě na druhé 0.110 a 0.111, atd. Pokud se na tato desetinná čísla budeme dívat jako na dvojkové zápisy reálných čísel, pokryjeme takto celý interval (1/2,1). Ten má ale mocnost kontinua.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#14 31. 07. 2008 12:19

Lishaak
Moderátor
Místo: Praha
Příspěvky: 763
Reputace:   
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

Hm, ted jsem mel trosku volnou chvili nad timto jeste popremyslet, a nejde mi do hlavy, jaky je rozdil mezi vlakem a kosmickymi lodemi z predchoziho prispevku. Prece kdyz mam nejakou lod, ta je vezena konecnym poctem lodi, do kterych je zanorena. Kazde lodi 'x' tedy muzeme priradit cislo, ktere udava jeji stupen zanoreni. Lodi se stupnem zanoreni 'r' je 2^r. Tedy az dojde k vylozeni vsech lodi, vsechny lode s ciselm 'r' nalozime na vagon s cislem 'r'. Kazda lod tak ma jednoznacne prirazen vagon, do ktereho ji nalozime a v kazdem r-tem vagonu je 2^r lodi, tady je lodi nejvyse tolik jako cestujicich ve vlaku a Kondrem naznacenym zpusobem je muzu vylozit na spocetne parkoviste stejne, jako jsem vykladal cestujici do spocetneho hotelu.

Na druhou stranu v tom argumentu s binarnim zapisem realneho cisla zadnou chybu nevidim, tak kde je problem?


Nothing in the world that's worth having comes easy.
Always do what you are most afraid of.

Offline

 

#15 31. 07. 2008 12:31

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2506
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   66 
 

Re: Hilbertuv hotel

↑ Lishaak:

Ja myslim, ze problem je prave s tim binarnim zapisem. Je znamo, ze interval [0,1] je nespocetny. Tedy nelze usporadat vsechny prvky intervalu [0,1] do posloupnosti, coz Kondr provadi. Spor bychom jiste museli najit, nebot prave dukaz nespocetnosti intervalu [0,1] se provadi sporem (Cantoruv dukaz nespocetnosti intervalu [0,1]) a nejde se prece takovy prvek, ktery do takoveto posloupnosti nepatri. Ten dukaz je znamy sice v dekadicke podobe, ale to nema v tomto pripade zadny podstatny vyznam.

Je mozne ale, ze jsem to Kondrovo vysvetleni nepochopil. Uprimne receno, vrta mi to hlavou taky delsi dobu.

Offline

 

#16 01. 08. 2008 03:58

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Hilbertuv hotel

Myslel jsem, že  pokud jde o lodě, mělo se jednat o model situace, ve které spočetné parkoviště nestačí, tak jsem sepsal poněkud ukvapenou odpověď.
Víme že

- Konečných posloupností přirozených čísel je spočetně mnoho (stejně jako přirozených nebo racionálních čísel v intervalu (0,1)).

- Množina všech posloupností přirozených čísel spočetná není a má mocnost kontinua (tedy stejnou jako interval (0,1), stejnou jako reálná čísla, stejnou jako množina podmnožin čísel přirozených,...)

Každou loď je možno zakódovat posloupností přirozených čísel, případně dvojkovým rozvojem nějakého čísla od 0 do 1. Pokud si definici lodě typu A (matematicky nekorektní, protože A definujeme pouze pomocí A) vyložíme tak, že počet zanoření je nekonečný, pak kódující posloupnost může být i nekonečná, množina lodí má mocnost kontinua.

Pokud si ji vyložíme tak, že počet zanoření je konečný (i když libovolně velký), je posloupnost konečná (příp. rozvoj odpovídá racionálnímu číslu), lodí  je spočetně mnoho. Uznávám, že tato interpretace je asi smysluplnější.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#17 01. 08. 2008 20:04

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Hilbertuv hotel

Jelikož je nějaký ten den po "soutěží", nastínil bych své řešení problému e) - "jak ubytovat vlak, ktery ma nekonecne mnoho vagonu, kde v kazdem vagonu je nekonecne mnoho hostu?"

Nech? uspořádaná dvojice $(k,n)\in\mathbb N\times\mathbb N$ označuje n-tého cestujícího v k-tém vagoně a uspořádaná dvojice $(0,n)\in\{0\}\times\mathbb N$ hosta již ubytovaného v pokoji číslo n. Sestavme z těchto dvojic schéma:



$$$ \begin{array} (0,1)&\quad&(0,2)&\quad&(0,3)&\quad&(0,4)&\quad&(0,5)&\quad&\ldots\\ (1,1)&\quad&(1,2)&\quad&(1,3)&\quad&(1,4)&\quad&(1,5)&\quad&\ldots\\ (2,1)&\quad&(2,2)&\quad&(2,3)&\quad&(2,4)&\quad&(2,5)&\quad&\ldots\\ (3,1)&\quad&(3,2)&\quad&(3,3)&\quad&(3,4)&\quad&(3,5)&\quad&\ldots\\ (4,1)&\quad&(4,2)&\quad&(4,3)&\quad&(4,4)&\quad&(4,5)&\quad&\ldots\\ \vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\ddots\\ \end{array} $$$



Aby bylo možné všechny cestující ubytovat do Hilbertova hotelu, je třeba najít předpis, který bijektivně ubytuje každého cestujícího do příslušného pokoje resp. přestěhuje stávající hosty do jiných pokojů tak, aby po celé akci nezůstal v hotelu žádný pokoj volný. Hledejme bijekci

$g\,:\,\mathbb{N}_0\times\mathbb N\to\mathbb N$,

která "očísluje" uspořádané dvojice z horního schématu např. po diagonálách zprava doleva:


$$$ \begin{array} 1&\quad&2&\quad&4&\quad&7&\quad&11&\quad&\ldots\\ 3&\quad&5&\quad&8&\quad&12&\quad&17&\quad&\ldots\\ 6&\quad&9&\quad&13&\quad&18&\quad&24&\quad&\ldots\\ 10&\quad&14&\quad&19&\quad&25&\quad&32&\quad&\ldots\\ 15&\quad&20&\quad&26&\quad&33&\quad&41&\quad&\ldots\\ \vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\ddots\\ \end{array} $$$


Najděme nejdříve obecný předpis, který zobrazuje uspořádané dvojice z prvního řádku prvního schématu na přirozená čísla z prvního řádku druhého schématu, tj.

g((0,1))=1, g((0,2))=2, g((0,3))=4, g((0,4))=7, g((0,5))=11 atd. Použitím funkce g modifikujeme  druhé schéma takto:



$$$ \begin{array}{lllllllllll} g((0,1))&\quad&g((0,2))&\quad&g((0,3))&\quad&g((0,4))&\quad&g((0,5))&\quad&\ldots\\ g((0,2))+1&\quad&g((0,3))+1&\quad&g((0,4))+1&\quad&g((0,5))+1&\quad&g((0,6))+1&\quad&\ldots\\ g((0,3))+2&\quad&g((0,4))+2&\quad&g((0,5))+2&\quad&g((0,6))+2&\quad&g((0,7))+2&\quad&\ldots\\ g((0,4))+3&\quad&g((0,5))+3&\quad&g((0,6))+3&\quad&g((0,7))+3&\quad&g((0,8))+3&\quad&\ldots\\ g((0,5))+4&\quad&g((0,6))+4&\quad&g((0,7))+4&\quad&g((0,8))+4&\quad&g((0,9))+4&\quad&\ldots\\ \vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\vdots&\quad&\ddots\\ \end{array} $$$


Využijeme-li faktu, že číslování probíhalo po diagonálách zprava doleva, pak není problém dokázat, že $g((0,n))+n=g((0,n+1))$

Na uvedenou rovnost můžeme pohlížet jako na lineární diferenční(rekurentní) rovnici prvního řádu se speciální pravou stranou $g((0,n+1))-g((0,n))=n$ a počáteční podmínkou $g((0,1))=1$. Vyřešením dostáváme návod, jak přesunout stávající hosty v Hilbertově hotelu a uvolnit tak místo pro příchozí cestující.


$g((0,n))=\frac 12n(n-1)+1$


Pomocí tohoto řešení definujme g(n,k), pro $(n,k)\in\mathbb N\times\mathbb N$, což je návod pro ubytování cestujících z vlaku, takto:


$g(n,k):=g(0,n+k)+n=\frac 12(n+k)(n+k-1)+n+1$.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#18 13. 02. 2009 16:58

Nattramet
Místo: HK
Příspěvky: 73
Pozice: RD
Reputace:   
 

Re: Hilbertuv hotel

C) posunu stávajícího hosta do pokoje tak, aby následné obsazení pokojů bylo na střídačku-    nový- stávající- nový- stávající- ... až do nekonečna :)
D) posunu je tak, aby pokoje obsadily následovně:
                          prvních n pokojů (je li n autobusů) obsadí z každého autobusu jeden host, dalším (n+1) pokoji bude host stávající, dále v dalších n pokojích bude 2.   
                           host z každého autobusu a následně 2. stávající host atd atd ....

Može být? kostrbaté, ale sand t vystihuje co má. Myslím, že jde o to, že když tu máme nekonečno hostů stávajících a nekonečno nových, tak je třeba začít je řadit vždy jednoho ze stávajících a jednoho z nových / n hostů z nových po jednom ....


Čísla ovládají vesmír (Pythagoras)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson