Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 11. 2011 22:13

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

délka křivky ...

pěkný večer, mám zadán přiklad $y=e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$  v intervalu <2,0>  kde mám určit délku křivky ... obecný vzorec vím  ...vím postup, ale nvm jak to počítat v tomdle případě, s těma $e$ ... mohl by někdo zkusit poradit?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) peťka)

#2 25. 11. 2011 22:43

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

Říkáš, že obecný vzorec víš. Co přesně tedy dělá problém? Derivování, úprava výrazu, integrování…?


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#3 25. 11. 2011 22:51

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

dobře začnu derivací ... vyšla takto správně? $y=\frac{e^{\frac{x}{2}}-e\frac{-x}{2}}{2}$

Offline

 

#4 25. 11. 2011 22:53

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

Jo, to je správně. Teď umocnit na druhou, přičíst jedničku, upravit, odmocnit, zintegrovat…


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#5 25. 11. 2011 22:57

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

mohl by jsi mi prosím pomoct s tím umocněním na druhou?

Offline

 

#6 25. 11. 2011 23:03

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

$\left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} - \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2 = \frac 14 \left( \left(\mathrm{e}^{x/2}\right)^2 - 2\left(\mathrm{e}^{x/2}\right)\left(\mathrm{e}^{-x/2}\right) +\left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)^2\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)$


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#7 25. 11. 2011 23:09

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

děkuji tedy :-) ... k tomu přičtu tu 1 jak je v obecném vzorci ...hodím pod odmocninu ... zintegruju :D kdyby to byl jakýkoliv jiný příklad, ale tohle vůbec nvm ... mohl by jsi(jste) mi prosím ještě zkusit poradit?

Offline

 

#8 25. 11. 2011 23:14 — Editoval Olin (25. 11. 2011 23:14)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

Tady si buď člověk musí něčeho všimnout, nebo už musí mít s těmito funkcemi jisté zkušenosti. Hlavní trik je v tom, že

$1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x \mathbin{\color{red}+} 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)$,

a jelikož $\mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}$ vzniklo tak, že jsme umocnili na druhou jistý rozdíl, tak $\mathrm{e}^x + 2 + \mathrm{e}^{-x}$ vznikne tak, že na druhou umocníme …

No a jakmile ten výraz budeme mít jako druhou mocninu něčeho, úplně snadno ho odmocníme a výsledek se bude i snadno integrovat.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#9 25. 11. 2011 23:19

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

matematika nikdy nebyla má silná stránka, ale aspoň se to snaží pochopit ... mohl by jste(jsi) mi to prosím ukázat názorně ?

Offline

 

#10 25. 11. 2011 23:37

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

No, snažil jsem se říct, že

$1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \frac 14 \left ( \mathrm{e}^x + 2 + \mathrm{e}^{-x}\right) = \left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2$,

tím pádem

$\sqrt{1+\frac 14 \left ( \mathrm{e}^x - 2 + \mathrm{e}^{-x}\right)}= \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2} \right)^2} = \frac{\mathrm{e}^{x/2} + \mathrm{e}^{-x/2}}{2}$.

No a to už se snad zintegruje snadno, přinejhorším pomocí MAWu či Wolfram|alphy.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#11 25. 11. 2011 23:42

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

už vidím co jste se snažil mi vysvětlit ... děkuji mnohokrát

Offline

 

#12 25. 11. 2011 23:55

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

integruju integruju, zatím bezúspěšně ... mohl by jste mi jeste ukazat jak by jste to zintegroval ?

Offline

 

#13 26. 11. 2011 09:55 — Editoval Olin (26. 11. 2011 09:56)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

$\int \mathrm{e}^{x/2}\,\mathrm{d}x = 2 \mathrm{e}^{x/2}$,

podobně se provede integrování toho druhého členu. Výsledek.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#14 27. 11. 2011 23:27

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

mohla bych poprosit o kompletní výsledek? Nějak se v tom ztrácím

Offline

 

#15 28. 11. 2011 14:47

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: délka křivky ...

$\int_0^2\frac{\mathrm{e}^{x/2}+\mathrm{e}^{-x/2}}{2} \,\mathrm dx = \left[ \mathrm e^{x/2} - \mathrm e^{-x/2} \right]_0^2$


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#16 28. 11. 2011 15:03

peťka
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: délka křivky ...

Ano děkuji, už jsem si s tím poradila a mám to hotové :-) každopádně děkuju za rady :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson