Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 01. 2012 14:13

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Substituce v diferenciální rovnici

Ahoj, řeším následující diferenciální rovnici
$\frac{\partial \xi }{\partial t}=D\frac{\partial ^2\xi }{\partial x^2}$
popisující jednorozměrnou difuzi, řešením je tedy funkce dvou proměnných - času a jedné souřadnice. Aby bylo možné použít analogii mezi difuzí a vedením tepla a následně teorii podobnosti, zavede se substituce vedoucí na bezrozměrné veličiny:


$\xi=\xi^*(\xi _O - \xi _U)+\xi _U$, $x=\frac{x^* \delta}{2}$, $t=t^*\tau$. Tyto výrazy se dosadí do rovnice a má vyjít:
$\frac{\xi _0-\xi _U }{\tau}\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}=D\frac{(\xi _0-\xi _U )}{\(\frac{\delta }{2}\)^2}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}$, po úpravě
$\boxed{\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}=\frac{4D\tau}{\delta^2}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}}$.

Kdyby byla $\xi$ funkce jedné proměnné, tak by se dalo psát $\mathrm{d}\xi=(\xi _O-\xi _U)\mathrm{d}\xi^* $, což se nějak dosadí do původní rovnice. Tady by se to asi mělo značit jinak...? Tohle ale ještě docela chápu, problém mám spíš s tou druhou derivací - kde se vzalo $\frac{\partial ^2\xi }{\partial x^2}=\frac{(\xi _0-\xi _U )}{\color{red}\(\frac{\delta }{2}\)^2}\color{black}\frac{\partial ^2\xi ^*}{\partial (x^*)^2}$? Díky za rady.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FliegenderZirkus)

#2 31. 01. 2012 14:30 — Editoval Pavel Brožek (31. 01. 2012 14:32)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Substituce v diferenciální rovnici

↑ FliegenderZirkus:

Odtud:

$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial x^*}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x^*}$.

(Jde vlastně o derivaci složené funkce.)

Offline

 

#3 31. 01. 2012 15:27

FliegenderZirkus
Příspěvky: 542
Škola: RWTH Aachen
Reputace:   25 
 

Re: Substituce v diferenciální rovnici

↑ Pavel Brožek:

Jasně, analogicky pak tedy bude: $\frac{\partial }{\partial t}=\frac{\partial t^*}{\partial t}\frac{\partial }{\partial t^*}$,
$\frac{\partial \xi }{\partial t}=\frac{1}{\tau }\frac{\partial }{\partial t^*}\(\xi ^*(\xi _O-\xi _U)+\xi _O\)=\frac{\xi _0-\xi _U }{\tau}\frac{\partial \xi ^*}{\partial t^*}$. Asi už rozumím, ale možná ještě přibyde jeden dotaz, proto zatím za vyřešené neoznačím. Díky.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson