Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 02. 2011 19:14

Baktor
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Nejmenší obsah

Zdravím, mám vyřešit následující zadání:

Daným bodem A = [a,b] v prvním kvadrantu vedeme přímku p ; její průsečík s osou x označme
X, průsečík s osou y označme Y. Pro kterou přímku bude mít trojúhelník OXY, kde O je počátek
souřadnic, nejmenší obsah?

Nevěděl by někdo správnou odpověď a její důkaz nebo něco takového?

Děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jelena)

#2 27. 02. 2011 19:45

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

Kedze bod A je fixne zadany, tak obsah trojuholnika OXY zavisi iba od jedneho parametra, napriklad od x-ovej suradnice bodu X. Skus zacat tym, ze sa pomocou tejto suradnice a konstant a,b pokusis vyjadrit obsah trojuholnika OXY :)

Offline

 

#3 27. 02. 2011 19:52

Oxyd
Příspěvky: 614
Škola: MFF UK, teoretická informatika
Pozice: Student
Reputace:   31 
 

Re: Nejmenší obsah

Není to zadání trochu neúplné? Když povedu přímku bodem A a počátkem, tak bude X = Y = O a trojúhelník zdegeneruje na úsečku, která má nulový obsah. Pokud se předokládá, že trojúhelník nemá být degenerovaný, tak může mít libovolně malý obsah -- stačí tu přímku vést libovolně blízko počátku (ale ne přímo počátkem).

Nebo jsem něco nepochopil?


Mýlím se častěji, než bych chtěl. Pokud vám v mém příspěvku něco nehraje, neváhejte se zeptat.
Jsem stále mlád a je mi příjemnější tykání. :)

Offline

 

#4 27. 02. 2011 19:57

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Oxyd:
No ta priamka nemusi prechadzat pociatkom :)

Offline

 

#5 27. 02. 2011 19:59 — Editoval Dana1 (27. 02. 2011 20:00)

Dana1
Host
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Oxyd:

Nie je tam zadané, že ide počiatkom.

 

#6 27. 02. 2011 20:00

Oxyd
Příspěvky: 614
Škola: MFF UK, teoretická informatika
Pozice: Student
Reputace:   31 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ mikee:

Já to chápu tak, že je dán bod A a pak ze všech přímek procházejících bodem A se má najít ta, která uvedeným způsobem určuje trojúhelník s nejmenším obsahem. Přímka, která určuje trojúhelník s nejmenším obsahem -- aspoň tak mi to teď příde -- je ta, která prochází počátkem.


Mýlím se častěji, než bych chtěl. Pokud vám v mém příspěvku něco nehraje, neváhejte se zeptat.
Jsem stále mlád a je mi příjemnější tykání. :)

Offline

 

#7 27. 02. 2011 20:05

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Oxyd:
Uz rozumiem a mas pravdu Oxyd. Ja som to pochopil tak, ze cely ten trojuholnik musi lezat v prvom kvadrante. V zadani to tak nie je napisane, ale myslim ze to tak bolo myslene, lebo keby nie, tak potom naozaj je odpoved ze lubovolne maly obsah a nie je co pocitat :)

Offline

 

#8 27. 02. 2011 20:07 — Editoval Oxyd (27. 02. 2011 20:09)

Oxyd
Příspěvky: 614
Škola: MFF UK, teoretická informatika
Pozice: Student
Reputace:   31 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ mikee:

Edit: Plácám blbosti. Už jsem to pochopil. :)


Mýlím se častěji, než bych chtěl. Pokud vám v mém příspěvku něco nehraje, neváhejte se zeptat.
Jsem stále mlád a je mi příjemnější tykání. :)

Offline

 

#9 27. 02. 2011 20:10

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Oxyd:
Ja si myslim, ze moze lezat aj cely trojuholnik v prvom kvadrante, len ta priamka musi mat zapornu smernicu.
Napriklad keby bod A mal suradnice [1,1] a zobrali by sme priamku y = 2-x.

Offline

 

#10 27. 02. 2011 20:10

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Oxyd:
:)
Ale kazdopadne si myslim, ze v tom zadani je chyba :)

Offline

 

#11 27. 02. 2011 20:11

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Nejmenší obsah

bod A v samostatné práci je zadán (podle nějakého kritéria ve skupině). Degenerovaný trojúhelník se nepředpokládá. Ale případně můžeme upozornít autorku na nejednoznačnost zadání :-)

A nemyslím, že někam vyleze mimo 1. kvadrant (je pravoúhlý, s pravým úhlem v bodě O).

Kolegovi přeji hodně zdaru v samostatné práci.

Zdravím.

Offline

 

#12 27. 02. 2011 20:16

Baktor
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Re: Nejmenší obsah

Díky všem :-)

Offline

 

#13 27. 02. 2011 20:17

mikee
Moderátor
Příspěvky: 533
Reputace:   11 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Baktor:
No ale zatial sme ti asi velmi nepomohli :) Iba sme sa dohodli, ze ako je to zadanie asi myslene :))

Offline

 

#14 27. 02. 2011 20:19

Baktor
Zelenáč
Příspěvky: 23
Reputace:   
 

Re: Nejmenší obsah

I tak jste mě trochu nakopli a je mi to trošku jasnější tak snad to dovedu do zdárného konce

Offline

 

#15 28. 02. 2011 14:36

stenly
Příspěvky: 1431
Škola: ČVUT Brno
Pozice: Lektor v oboru matematika-fyzika
Reputace:   15 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Baktor:Pomocí a,b a souřadnic Px a Py si vyjádři obsah trojúhelníku OXY a z něho si vyjádři y=f(x) jako funkci ,kterou derivuj a poté polož rovnu nule.


Matematika je způsob,jak zviditelnit neviditelné!!

Offline

 

#16 29. 02. 2012 17:34

390
Zelenáč
Příspěvky: 4
Reputace:   
 

Re: Nejmenší obsah

Ahoj, lidi, je tu dalsi rok a taky jsme dostali tento priklad k vyreseni. Mame upresnene zadani, trojuhelnik se zobrazi vzdy v prvnim kvadrantu. Zkouseli jsme to pocitat pomoci toho strucneho navodu, ktery napsal stenly, ale nevime, jak vyjadrit ten obsah pomoci Px, Py, a a b a i kdyz jsme "neco" vymysleli, nedokazeme z toho pak udelat funkci. Mohl by sem, prosim, nekdo napsat, jak se to bude pocitat? Reseni by melo byt y=-b/a . x + 2.b, ale nevime postup.

Offline

 

#17 29. 02. 2012 18:48

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ 390:

Zdravím,

jelikož jde o samostatnou práci, tak pokud potřebuješ pomoc, napiš, prosím všechno, co jste vymysleli. Aby se nám a, b ze zadání bodu A nepletlo s a, b ze vzorce pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníku, můžeš používat své konkrétní zadání a, b (nebo označení popiš tak, aby bylo jasné).

Děkuji.

Offline

 

#18 29. 02. 2012 23:17

2rec
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: Nejmenší obsah

↑ jelena:
Zjistili jsme, ze pokud ma byt obsah co nejmensi, mel by bod A lezet primo uprostred prepony trojuhelniku. Dale vime, ze smernicova rovnice teto primky ma tvar $y = -\frac{b}{a} \cdot  x + q$. Zjistili jsme totiz smernici k pomoci vzorecku k=tg(fiii). Ted uz zbyva jen dopocitat q, resp. vyjadrit jej pomoci a nebo b. Nekde na internetu jsem vycetl, ze q by se melo rovnat 2b, ale to je ten problem - nevime, jak se k tomu dostat.

Co jsme zatim zkouseli:
1) Vyjadrit si strany pomoci vet USU, SUS - bohuzel nemame dostatek informaci, protoze uhly podel prepony mohou byt ruzne podle toho, kde lezi bod A
2) Vyjadrit si delky stran pomoci tech bodu a, b - to zase nejde, jelikoz nevime, ve ktere casti prepon tyto souradnice jsou
3) Kamarad zkousel neco integrovat a derivovat, ale prisel akorat k pulce vysledku, kterou jsme uz meli, tedy  $y = -\frac{b}{a} \cdot  x + q$
4) Snazili jsme se tam nekam nacpat i tu Pythagorovu vetu, ale nakonec veskere usili skoncilo u toho, ze jsme si spocitali par pravouhlych trojuhelniku uprostred toho naseho, ale pro jine souradnice bodu A nez a=b, to uz nevychazelo
5) Nakonec jsme ze zoufalosti zkusili i ten naznak reseni od stenlyho, ktere je o kousicek vyse, ale dosli jsme k necemu jako $S = \frac{P_{x} \cdot  P_{y}}{2}$ a dal jsme s tim uz nepohnuli

Mozna jsme zkouseli jeste par veci, ale vim jiste, ze ani jedna nas nedovedla k vysledku. Za kazdou radu budu vdecny.


1 + 1 = 2

Offline

 

#19 29. 02. 2012 23:40

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ 2rec:

děkuji, kolik vás na takový problém bylo? :-)

začneme v bodě zoufalství - neb výpočet obsahu je cílem postupu. A půjdeme zpět.

1) obsah trojúhelníku $S = \frac{P_{x} \cdot  P_{y}}{2}$, P_x, P_y zde rozumíme nenulovou souřadnici průsečíků hledané přímky s osou x a s osou y.

2) hledáme přímku $y=kx+q$, tedy máme 2 neznámé k, q. Pomůžeme si zadaným bodem A, jeho souřadnice dosadíme do rovnice přímky $b=ka+q$, odsud vyjádříme k nebo q (co jste vyjádřili?)

3) P_x má souřadnice y=0, x="nějaké", přičemž P_x náleží hledané přímce. Můžeme vyjádřit x jako funkce od k nebo od q (podle toho, jak jste ukončili bod 2).

4) Obdobně budeme postupovat i s P_y.

Po dokončení kroku 4) máme mít x=funkce(od k nebo q) y=funkce(od k nebo q) a to všechno dosadíme do $S = \frac{P_{x} \cdot  P_{y}}{2}$. Budeme mít funkci jedné neznámé (k nebo q) a tu pomocí derivací budeme vyšetřovat na extrém.

Který krok není jasný? Děkuji.

Offline

 

#20 01. 03. 2012 07:06

Honzc
Příspěvky: 3899
Reputace:   215 
 

Re: Nejmenší obsah

Offline

 

#21 01. 03. 2012 07:31

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Nejmenší obsah

Zdravím kolegu Honzce, moc se omlouvám, příspěvek jsem skryla. Příspěvek není ztrácen, jen skryt, dá se obnovit.

Jde o samostatnou práci a v tématu je to napsáno opakovaně. Myslím, že kostra řešení, kterou jsem napsala je i tak víc, než dost.

V tomto tématu také: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=42360

Odsud: http://www.umat.feec.vutbr.cz/~krupkova/ima.html

Zadání:

http://www.umat.feec.vutbr.cz/~krupkova/1.pdf
http://www.umat.feec.vutbr.cz/~krupkova/2.pdf

Bohužel, ne u všech zadáním můžeme vědět, zda je to samostatná práce nebo domácí cvičební příprava. Zde to ovšem víme a v tématu je to napsáno. Na nějakou podrobnější debatu teď nemám čas (a ani náladu). Ale je to záležitost, která je zde otvírána opakovaně. 

Debata k problému je tady. Děkuji a opravdu se omlouvám.

Offline

 

#22 01. 03. 2012 08:02

Honzc
Příspěvky: 3899
Reputace:   215 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ jelena:
Zdravím,
nikde jsem nevyčetl, že se jedná o samostatnou práci. (u každého kdo sem dá nějaký příklad se totiž jedná o samostatnou práci)

Offline

 

#23 01. 03. 2012 08:29

2rec
Zelenáč
Příspěvky: 12
Reputace:   
 

Re: Nejmenší obsah

↑ jelena:

:-) Az se mi to nechce moc rikat, delali jsme na tom 4.

2) Tak jsem si vyjadril q jako q = \frac{b}{ka}

3) Tady nerozumim vyrazu, ze bych si mel vyjadrit x jako funkce od q. Myslite tim $y = kx + \frac{b}{ka}$, kde y = 0 a z tohoto vyjadrit x? Nebo tam mam vratit misto a zpatky x: $y = kx + \frac{b}{ka}$ (coz mi prijde mozna rozumnejsi)?

4) Asi mam moje chapani 3) spatne, jelikoz tady by mi pod zlomkovou carou zustavala 0, coz neni vubec dobre.


1 + 1 = 2

Offline

 

#24 01. 03. 2012 09:16

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ Honzc:

Zdravím,

mám to v příspěvku 11 a 17. Ano, všechno je samostatná práce, proto nejjednodušší předcházení problémům neposkytovat celé řešení. Děkuji, případnou debatu prosím směrovat do odkazaného tématu v Připominkách.

↑ 2rec:

děkuji, potom to zvladnete.

$b=ka+q$ odsud vyjadřujeme q=... (vyjde to jinak, než máš, oprav, prosím).

Offline

 

#25 01. 03. 2012 09:22

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 7619
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   369 
 

Re: Nejmenší obsah

↑ jelena:
Zdravím:)
Tak si myslím, že řešení od ↑ Honzc: už můžeš směle odkrýt,
protože ↑ 2rec: je evidentně v koncích.


Nikdo není dokonalý

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson