Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 05. 2012 12:05

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

Konečný súčet

Ahojte,

robí mi problém odvodiť

$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{1-\cos\left(\frac{j\pi}{n}\right)}=\frac{1+2n^2}{6}$

Zrejme v tom bude nejaká trivialita, ktorú sa mi nepodarilo zatiaľ odhaliť. Dospel som len k ekvivalentnému tvaru pre nepárne n

$\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{1-\cos\left(\frac{j\pi}{n}\right)}=\frac{1}{2}+\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2}{\sin^2\left(\frac{j\pi}{n}\right)}$

zo symetrie hodnot cos(jpi/n). Ďakujem za prípadnú pomoc.


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#2 03. 05. 2012 01:43

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Konečný súčet

Mám jen trochu jiný tvar toho, co už máš ty, k výsledku jsem se nedostal. Tak napíšu aspoň to, co mám.

Můžeme změnit sčítací index na $l=n-j$:

$S=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{1-\cos\left(\frac{j\pi}{n}\right)}=\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{1-\cos\left(\frac{(n-l)\pi}{n}\right)}=\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{1+\cos\left(\frac{l\pi}{n}\right)}$

Teď si spočteme dvojnásobek hledané sumy.

$2S&=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{1-\cos\left(\frac{j\pi}{n}\right)}+\sum_{l=0}^{n-1}\frac{1}{1+\cos\left(\frac{l\pi}{n}\right)}=\\
&=1+2\sum_{j=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\(\frac{j\pi}{n}\)}$

Tedy

$S&=\frac12+\sum_{j=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\(\frac{j\pi}{n}\)}$

pro lichá i sudá n.

Offline

 

#3 05. 05. 2012 00:54

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

Ahoj, zkusil jsem přepsat sčítanec pomocí nekonečné geometrické řady a přehodit pořadí sumace (neřeším zatím korektnost tohoto postupu), tj. máme $\frac{1}{1-\cos\left(\frac{j\pi}{n}\right)}=\sum_{i=0}^{\infty }{\cos^{i}\left(\frac{j\pi}{n}\right)}$. Po záměně pořadí sumace je vnitřní suma pro lichá j rovna -1, tj. stačí hledat $\sum_{j=1}^{n}{\cos^{2i}\left(\frac{j\pi}{n}\right)}$. Suma tohoto tvaru (resp. sumy - v závislosti na i) vypadá již standardizovaněji, ovšem nejsem si jist, zda je jednodušší než suma původní a zda znalost jejího vyjádření v uzavřeném tvaru pomůže k vyřešení našeho problému.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#4 05. 05. 2012 00:55

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

Každopádně navrhuji přesun úlohy do některé ze sekcí "Zajímavé úlohy ..."


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#5 05. 05. 2012 15:04

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Konečný súčet

Je zajímavé, že Mathematica původní sumu nedokáže spočítat, ale sumu v mém příspěvku ano a poměrně rychle. Ale netuším, jaké metody na počítání sum Mathematica používá.

Offline

 

#6 05. 05. 2012 16:23

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

Re: Konečný súčet

Koho by zaujímal pôvod úlohy, tak tento problém vzniká pri odvodzovaní Čebyševovych matíc pri spektrálnych metódach. V knižke Trefethen: Spectral methods in Matlab je tento problém ako cvičenie 6.2.

Súčet tejto sumy je jeden prvok Čebyševovej matice, ktorú sa snažím skonštruovať. Existuje však aj iný prístup konštrukcie tejto matice cez Čebyševove polynómy, avšak výsledky sa musia zhodovať. Zaujíma ma však tento problém.


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#7 06. 05. 2012 14:37

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, bohužel nemám Mathematicu - mohl bys prosím jen tak pro zajímavost zkusit, zda si poradí s:
$\sum_{j=1}^{n}{\cos^{2i}\left(\frac{j\pi}{n}\right)}$
a pokud ne tak aspoň s těmito sumami pro malá i? Někde jsem viděl explicitní vzorec pro i=2 (tj. cos. v druhým mocninách), ale zda to lze vyjádřit obecně netuším.

Ještě k Mathematice: existuje způsob, aby Mathematica vypsala, jakým způsobem k danému řešení došla? Dle mého by to bylo velmi přínosné a algoritmicky nijak těžké (pokud k danému řešení dospěla)... Na druhou stranu by tímto asi pomohla autorům konkurenčních "počítacích software" a odhalila tak své metody...

Děkuji


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 06. 05. 2012 15:02

Bati
Příspěvky: 2187
Reputace:   171 
 

Re: Konečný súčet

↑ check_drummer:
Zde Mathematica online - mělo by to pracovat stejným způsobem jako normální program.
Nicméně je důležité si uvědomit, že způsoby, jakými to počítá některé úlohy mohou být pro člověka naprosto neschůdné, např. různé iterace, používání rozsáhlých databází, apod., proto si myslím, že by nám většinou nic neřeklo vědět jakým způsobem to došlo k výsledku. Většinou to bývá tak, že čím víc chceme aby nějaký algoritmus dělal něco stejným způsobem jako člověk, tím je ten algoritmus komplikovanější i méně efektivní.

Offline

 

#9 06. 05. 2012 15:45

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

↑ Bati:
Děkuji - s konkrétní hodnotou 2i si zdá se poradí, ale s obecnou 2i asi ne... Ale podle tvaru výsledku tudy asi cesta buď nepovede nebo bude trnitá.

Já jsem neměl na mysli to, jakým způsobem Mathematica hledá výsledek, ale to, když už ho najde, jaká pravidla byla k dosažení výsledku použita. Např. není důležité, že bylo prohledáno 1356 pravidel, ale důležité je, že bylo např. použito pravidlo o derivaci/intergraci funkce s parametrem, apod. A to by dle mého bylo pro člověka čitelné.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#10 06. 05. 2012 16:16 — Editoval Pavel Brožek (06. 05. 2012 16:47)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Konečný súčet

↑ check_drummer:

Ahoj, obecně si s tím neporadí. Pro i=1…10:

$\{\frac{n}{2},\frac{3 n}{8},\frac{5 n}{16},\frac{35 n}{128},\frac{63 n}{256},\frac{231 n}{1024},\frac{429 n}{2048},\frac{6435 n}{32768},\frac{12155 n}{65536},\frac{46189 n}{262144}\}$

Nevím o tom, že by šel v Mathematice vypsat postup. Také si myslím, že si své postupy budou hlídat :-).

↑ Bati:

WolframAlpha mi nepřijde na podobné věci moc vhodný. Nehledal jsem důkladně, ale nikde jsem neviděl, že by k tomu byla dokumentace. Když počítám např. tyto řady, tak potřebuju v Mathematice použít funki Simplify, aby byl výsledek v nějakém rozumném tvaru. Nevím, jak bych toho dosáhl ve WolframAlpha. A výpočet ve WolframAlpha je také časově omezen, což je velké mínus.

Edit: Ty výsledky, co jsem uvedl, se mi vůbec nezdají. Stačí volit $n=1$ a je vidět, že to je blbě.

Edit2: Zdá se, že ty výsledky, co jsem uvedl, platí pouze pro $n>i$.

Edit3: Za předpokladu, že závislost je lineární v n, pak koeficienty pro prvních dvacet i jsou

$\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{5}{16},\frac{35}{128},\frac{63}{256},\frac{231}{1024},\frac{429}{2048},\frac{6435}{32768},\frac{12155}{65536},\frac{46189}{262144},\frac{88179}{524288},\nl
\frac{676039}{4194304},\frac{1300075}{8388608},\frac{5014575}{33554432},\frac{9694845}{67108864},\frac{300540195}{2147483648},\frac{583401555}{4294967296},\nl
\frac{2268783825}{17179869184},\frac{4418157975}{34359738368},\frac{34461632205}{274877906944}$

Offline

 

#11 06. 05. 2012 17:06

Bati
Příspěvky: 2187
Reputace:   171 
 

Re: Konečný súčet

Neříkám, že program Mathematica je celý nahraditelný WolframAlpha, ale velmi pravděpodobně mají stejné jádro. Jde jen o to, že vstup a výstup jsou v jiných tvarech - WolframAlpha je upřímně akorát dělaný blbuvzdorně.

↑ check_drummer:
To je, s prominutím, naivní představa. K čemu nám bude znát algoritmus řešení nějakého problému (obecně platný, třeba s tak velkou pravděpodobností, že jeho výsledek můžem považovat za správný), když k tomu potřeboval 8000 operací?

Offline

 

#12 06. 05. 2012 19:46

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Konečný súčet

ahojte,
zaujímalo by ma,
nešlo by to spočítať spôsobom,
že by sa pre každé $j$ našlo koplexné číslo $z_{j}$ ktorého je napr.$\frac{1}{2\sin^2{(\frac{j\pi}{n}})}$ (možno po úpravách)
imaginárna (resp. reálna)  časť,
a keby sa našlo nejaké pekné (alebo znesiteľné ) exponenciálne vyjadrenie každého člena,
súčet by sa možno dal nájsť ľahšie, potom by sa dosadili Eulerove vzorce a z výsledku
by sa vybrala imaginárna (resp. reálna) časť

bolo by iste lepšie keby som s takými číslami rovno prišiel,
ale zatiaľ zrejme nie je v mojich silách túto myšlienku zrealizovať

Offline

 

#13 06. 05. 2012 20:58

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

↑ Bati:
Kde je ovšem řečeno, že se k výsledku stroj dobral v 8000 krocích? Třeba mu stačily jen kroky 4. Bylo by tedy vhodné, kdyby např. umožnil vypsat počet kroků vedoucí k řešení a v případě zájmu tyto kroky vypsat. Musíme si uvědomit, že to je jen stroj a že tedy jeho závěry mohou být chybné (chyby v programu) - proto by vypsaný postp mohl být "verifikován" člověkem a uznán jako platný.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#14 06. 05. 2012 21:04

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, pro obecné n a i=2 ve wolfram vychází výaz obsahující člen sin a csc a pro vyšší hodnoty i je ten výraz ještě krkolomnější. Pokud by byl výsledek lineární v n, bylo by to fajn, pak by se snad daly tyto hodnoty dobře sečíst, ale podle tohot tvaru, který ukazuje wolfram, o tom pochybuju.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#15 06. 05. 2012 21:23 — Editoval Pavel Brožek (06. 05. 2012 21:33)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Konečný súčet

↑ check_drummer:

Pro i=2 mi Mathematica dává (po přepsání csc na 1/sin a drobných úpravách, aby to vypadalo přehledněji)

$\frac1{16}\(-5+6n-4\frac{\sin\(-\frac{\pi(1+2n)}{n}\)}{\sin\(\frac\pi n\)}+\frac{\sin\(\frac{2\pi(1+2n)}{n}\)}{\sin\(\frac{2\pi} n\)}\)$

V čítatelích využiju periodicitu a lichost sinu.

$\frac1{16}\(-5+6n+4\frac{\sin\(\frac{\pi}{n}\)}{\sin\(\frac\pi n\)}+\frac{\sin\(\frac{2\pi}{n}\)}{\sin\(\frac{2\pi} n\)}\)$

Pokud jsou siny ve jmenovatelích nenulové, můžeme pokrátit. Ty jsou nenulové pro n>2 (tj. ta podmínka n>i, kterou jsem zmiňoval).

$\frac1{16}\(-5+6n+4+1\)=\frac{3n}{8}.$

Co jsem se tak díval na výrazy pro různá i, vypadá to, že vždy vyjde podobný tvar, tj. nějaká konstanta krát závorka, v které je konstantní člen, člen úměrný n a pak se přičítají poměry sin/sin, které ale pro dostatečně velké n dají konstantu (pro malé n způsobí, že je výraz nedefinovaný). Všechny konstanty se pak nakonec vždy sečtou na nulu.

Myslím si tedy, že to je skutečně lineární závislost, ale až od toho n>i.

Edit: Je zajímavé, že WolframAlpha dává špatný výsledek pro i=2, n=1 a n=2. Hádám, že si spočítá ten složitý výraz, ten pak zjednodušší na 3n/8 a dosadí n=1 nebo n=2. Přitom si neuvědomí, že ten výraz pro $n\le2$ neplatí ($\sum_{j=1}^{1}{\cos^{2\cdot2}\left(\frac{j\pi}{1}\right)}=1$, $\sum_{j=1}^{2}{\cos^{2\cdot2}\left(\frac{j\pi}{2}\right)}=1$).

Offline

 

#16 06. 05. 2012 22:27

Bati
Příspěvky: 2187
Reputace:   171 
 

Re: Konečný súčet

↑ check_drummer:
Přímo řečeno, že dělá tolik operací, není nikde, ale dá se to snadno usoudit z toho, že např. při vyšetřování konvergence některých řad, pomocí Mathematicy, program počítá často i několik sekund.

Offline

 

#17 08. 05. 2012 18:39

check_drummer
Příspěvky: 2691
Reputace:   73 
 

Re: Konečný súčet

↑ Bati:
Sice jen spekuluju, ale ono několika sekundové "počítání" může ve skutečnosti znamenat, že ve své velké databázi postupů hledá vhodný postup vedoucí k cíli. Tento postup však potom může zabrat několik relativně málo kroků a může být i pro člověka čitelný. Ale jak říkám - jen se domnívám.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson