Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 05. 2012 22:21

pizet
Místo: Levice/Praha
Příspěvky: 459
Reputace:   11 
 

Limita funkcie dvoch premenných

Ahoj.

Chcel by som spočítať

$\lim_{||(x,y)||\rightarrow\infty}\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$.

Napadlo mi, že by sa hodilo napísať

$\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$

ako funkciu

$\sqrt{x^2 + y^2}$

ale v tom sa mi nedarí.

Má niekto nejaký nápad, že ako na to?

Ďakujem


Do you follow my way? Or you just see a black stain swimming in the Milky Way ...
KSP je určený pre študentov základných a stredných škôl, ktorí majú záujem naučiť sa niečo z oblasti algoritmov, logických úloh, programovania a informatiky.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) pizet)

#2 11. 05. 2012 22:34

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: Limita funkcie dvoch premenných

co si představuješ pod zápisem $\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}$?

Offline

 

#3 11. 05. 2012 22:44

pizet
Místo: Levice/Praha
Příspěvky: 459
Reputace:   11 
 

Re: Limita funkcie dvoch premenných

↑ Stýv:

Že vzdialenosť bodu $(x{,}y)$ od $(0{,}0)$ sa blíži do $\infty$. Mám nesprávnu predstavu?


Do you follow my way? Or you just see a black stain swimming in the Milky Way ...
KSP je určený pre študentov základných a stredných škôl, ktorí majú záujem naučiť sa niečo z oblasti algoritmov, logických úloh, programovania a informatiky.

Offline

 

#4 11. 05. 2012 22:58 — Editoval Pavel Brožek (11. 05. 2012 23:10)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Limita funkcie dvoch premenných

↑ pizet:

Ahoj. Snažme se tedy výraz $\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$ odhadnout něčím, co půjde do nuly, když $x^2+y^2$ půjde do nekonečna.

$\left|\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}\right|=\frac{|x + y|}{|x^2- xy + y^2|}$

V čitateli využijeme $|x+y|\le\sqrt2\sqrt{x^2+y^2}$ a ve jmenovateli $xy\le\frac12(x^2+y^2)$ (obě nerovnosti se snadno dokážou).

Edit: Jak jsem na ty nerovnosti přišel? Vím, co tam zhruba chci dostat, tak trochu zkouším a pak doladím konstanty. Rozhodně si podobné nerovnosti nepamatuji.

Edit2: Definici $\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}$ chápu takto:

$\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}f(x,y)=A\Leftrightarrow(\forall \varepsilon>0)(\exists K)(\|(x,y)\|>K\Rightarrow |f(x,y)-A|<\varepsilon)$

Offline

 

#5 11. 05. 2012 23:20

pizet
Místo: Levice/Praha
Příspěvky: 459
Reputace:   11 
 

Re: Limita funkcie dvoch premenných

↑ Pavel Brožek:

Super! Ďakujem za pomoc.


Do you follow my way? Or you just see a black stain swimming in the Milky Way ...
KSP je určený pre študentov základných a stredných škôl, ktorí majú záujem naučiť sa niečo z oblasti algoritmov, logických úloh, programovania a informatiky.

Offline

 

#6 12. 05. 2012 13:32

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5236
Reputace:   197 
Web
 

Re: Limita funkcie dvoch premenných

↑ pizet: já jenom, že běžně se definuje $\lim_{x\to a}f(x)$, nikoli $\lim_{g(x)\to a}f(x)$, tak mi přijde vhodné se nad tím na chvilku zamyslet. nic víc

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson