Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 05. 2012 10:33

jukl.m
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Obecný postup řešení limit

Zdravím,
chtěla bych se zeptat, zda existuje obecný postup, jak řešit limity, resp. zda tento je správný:

- Zkouším dosadit, pokud mi vyjde limita "K/0", kde K je reálné číslo, tak pokračuji počítáním limit zleva a zprava.

- Pokud mi vyjde limita "0/0", snažím se limitu nejdříve upravit nějakým vytýkáním apod., popř. použiju L'Hosp.

- Pokud mi vyjde "nekonečno/nekonečno", tak vytýkám nejvyšší mocniny, popř. použiju L'Hosp.

Může takto znít obecný postup pro počítání s limitami?
Díky.

Offline

 

#2 31. 05. 2012 11:56

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Obecný postup řešení limit

V hrubém náznaku určitě, pro úplnost dodám, že k L'Hospitalovi stačí aby při podílu funkcí g(x)/f(x) byla limita f(x), g(x) nemusí.
Další nepříjemnost, na kterou můžeš narazit je výraz "nekonečno"-"nekonečno", který může jít převést na předchozí případy vhodnými úpravami.

Offline

 

#3 31. 05. 2012 11:57

Bati
Příspěvky: 2202
Reputace:   171 
 

Re: Obecný postup řešení limit

Zdravím,

není to vždy tak jednoduché. Teoreticky by sice měly jít všechny výrazy, do kterých nemůžeme přímo dosadit, převést na nějaký zlomek, kde se dá použít l'Hospitalovo pravidlo, ale tento postup může být extrémně zdlouhavý a neprůhledný. Místo toho bývá velmi výhodné použít větu o limitě složené funkce, která není výše zmíněna. Pro ilustraci, doporučuji si vypočítat např. tuto limitu:
$\lim_{x\rightarrow0_+}\frac{(1+\sin x)^{1-\cos x}-1}{x^3}$

Nebo také může být nutné použít nějaký odhad funkce v limitě a pak např. větu o 2 strážnících. Viz. třeba tento příklad:
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{a^x+b^x+c^x}\quad a,b,c>0$

A nakonec, pokud počítáme s posloupnostmi, můžeme mít v zadání celočíselné funkce, speciálně faktoriál, kde nám l'H. pravidlo nepomůže a často musíme použít nějaký speciální trik. Viz. např.:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

Offline

 

#4 31. 05. 2012 13:06

user
Příspěvky: 440
Reputace:   24 
 

Re: Obecný postup řešení limit

Ještě dodám k funkcím, i když se podaří výraz upravit na použití L'Hospitala, neznamená to automaticky, že bude fungovat.
Např.
$\lim_{x\to+\infty }\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

Offline

 

#5 31. 05. 2012 13:30 — Editoval Cynyc (31. 05. 2012 13:31)

Cynyc
Příspěvky: 175
Reputace:   16 
 

Re: Obecný postup řešení limit

↑ jukl.m: To je přílišné zjednodušení. Jednak nepočítáte s dalšími nedefinovanými výrazy (uvádíte jen $\frac{K}{0}$ a $\frac{\infty}{\infty}$, kromě toho jsou $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, $\infty^0$, $0^0$ a $1^\infty$), spoléháte na L'Hospitala, kterým řada limit vyřešit nejde buď vůbec nebo velmi obtížně, a vůbec neuvádíte techniky pro limity obsahující podvýraz, který nemá limitu. Limity se prostě do tak jednoduchého algoritmu vtěsnat nedají. Pro základní seznámení s metodami výpočtu limit doporučuji http://wiki.matweb.cz/index.php/Rychlok … mit_funkcí , cokoli jednoduššího za algoritmus výpočtu limit nelze vůbec považovat. I tento text je ovšem značně jednoduchý a nepostihuje problematiku výpočtu limit elementárních funkcí jedné proměnné ani v celé šířce, natož hloubce.

Offline

 

#6 31. 05. 2012 13:34

vanok
Příspěvky: 13528
Reputace:   729 
 

Re: Obecný postup řešení limit

Ahoj,
Tu mas dalsi priklad limity,
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\(\frac{a^x+b^x}2 \)^{\frac 1 x}$ kde $a; b >0$.
Co myslis, ze treba pouzit na jej riesenie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 01. 06. 2012 18:48

check_drummer
Příspěvky: 2706
Reputace:   73 
 

Re: Obecný postup řešení limit

↑ vanok:
Ahoj. Pěkné zobecněné řešení je zde:
http://en.wikipedia.org/wiki/Generalize … as_a_limit


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 02. 06. 2012 12:44

vanok
Příspěvky: 13528
Reputace:   729 
 

Re: Obecný postup řešení limit

↑ check_drummer:
Ahoj,
pekna metoda.... ja som to riesil vdaka Talyorov-ych rozvojom.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 02. 06. 2012 14:58

Cynyc
Příspěvky: 175
Reputace:   16 
 

Re: Obecný postup řešení limit

↑ vanok: Řešení Taylorem je sice univerzální, ale ne vždy algebraicky nejjednodušší, a především ne vždy povolené (např. pokud se takové limity řeší ještě před tím, než se proberou derivace, nebo pokud se Taylor neprobírá vůbec). Protože diskutovanou limitu lze vyřešit pomocí standardní limity ln(1+x)/x pro x->1, považuji tady Taylora za kanón na vrabce.

Offline

 

#10 02. 06. 2012 16:34

vanok
Příspěvky: 13528
Reputace:   729 
 

Re: Obecný postup řešení limit

↑ Cynyc:
kazda metoda ma svoje vyhody a nevyhody.
Napis tvoje riesenie, zaujima ma.
Potom ti dam moje.
Co sa tyka kolegoveho riesenia je ozaj pekne, ↑ check_drummer: ... ale malo kolegov by ho nasli ak by na to mali 5 minut.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson