Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 10. 2012 22:08

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

14^n jako součet tří čtverců

Zdravím,
nevím si rady s řešením následujícího příkladu:
Dokažte pomocí MI, že pro každé n existují x,y,z
$x^{2} + y^{2} +z^{2} = 14^{n}, x,y,z,n \in \mathbb{N}, x \neq y \neq z$
Umím to dokázat pro n=1, tam jsou x, y, z 1,2 a 3. Jak ale postupovat dál? Pokud použiju klasickou indukci V(n) => V(n+1), napadá mě jen využít toho, že $14^{n+1} = 14*14^{n}$, ale nevím, co dál.
Díky za každou radu!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jelena)

#2 23. 10. 2012 22:21 — Editoval Pavel Brožek (23. 10. 2012 22:29)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Teyras:

Malá nápověda: zkus to dokázat jen pro sudá (nebo jen pro lichá) n.

(1. ročník informatiky na matfyzu? :-) )

Offline

 

#3 24. 10. 2012 09:20

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Pavel Brožek:
Napadlo mě to, je to podobnej princip jako u AG nerovnosti, ne?
Jo, trefa :) a díky :)

Offline

 

#4 24. 10. 2012 10:32

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Teyras:

No to nevím, mně to AG nerovnost nijak nepřipomíná, ani ten způsob, jakým se to dokazuje.

Offline

 

#5 24. 10. 2012 14:25

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Pavel Brožek: AG nerovnost se dá dokázat pomocí indukce V(2n) a pak V(n-1), to mi jí připomnělo... Ale nic víc společnýho tady asi nebude...

Offline

 

#6 24. 10. 2012 15:51

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Teyras:

Offline

 

#7 24. 10. 2012 22:08

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

No, díky za nápovědu, ale pro n+2 to pořád nevidím...

Offline

 

#8 24. 10. 2012 22:23

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Teyras:

$14^{n+2}=14^2\cdot14^n$

a teď použij indukční předpoklad $14^n=x^2+y^2+z^2$.

Offline

 

#9 24. 10. 2012 22:40

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Pavel Brožek:
Jo takhle... pff, to jsem tu měl, jen se mi nechtělo věřit, že je to opravdu ten důkaz :)
Díky moc

Offline

 

#10 24. 10. 2012 23:25

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Teyras:

No to není samozřejmě celé, doufám, že jsi pochopil, že ta nová x, y a z budou 14x, 14y a 14z :-)

Offline

 

#11 24. 10. 2012 23:34

Teyras
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Re: 14^n jako součet tří čtverců

↑ Pavel Brožek:
Jo, to už jsem pochopil :) Ještě jednou díky!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson