Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 27. 11. 2008 11:43

vive
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

derivace

ahoj, mohl by někdo prosím poradit, jak zderivovat následující příklady? problém mi dělá hlavně výraz pod odmocninou:( Moc děkuji za pomoc

$f(x) = ln\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}$

a druhá je pro mě ještě složitější, vůbec nevím, co s tím:
$f(x)=\sqrt[3]{\frac{sin^2x + x }{cos^2x - x }} +x^3cos(lnx+e^x)$

Offline

 

#2 27. 11. 2008 11:49

okurka
Příspěvky: 44
Reputace:   
 

Re: derivace

Vyšlo mi to tkahle, ale nevím jestli je to dobře. Radši to překontrolujte někdo schopnější.$f(x)=\frac{1}{2} \frac{-cosx}  {1-sinx}-\frac{1}{2}\frac{cosx}{1+sinx}$

Offline

 

#3 27. 11. 2008 11:50

okurka
Příspěvky: 44
Reputace:   
 

Re: derivace

Omlouvám se ale ještě jsem s etxem nezžil.$f(x)=\frac{1}{2}\frac{-cosx}{1-sinx}-\frac{1}{2}\frac{cosx}{1+sinx}$

Offline

 

#4 27. 11. 2008 19:10 — Editoval O.o (27. 11. 2008 22:32)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ vive:

Jde o derivaci složené funkce. Tzn. derivuj postupně vnější funkce až se dostaneš na nejvnitřnější, tyto derivace mezi sebou násobíš.

Začni derivací logaritmu, tj. $(ln(x))' = \frac{1}{x}$, kde x je to co je uzavřené logaritmem (celá ta odmocnina).

Teď máš zderivovanou nejvnějšejší funkci, takže pokračuj na další (vnitřní) funkci.

Tzn. naši derivaci logaritmu vynásob derivací odmocniny (nebo-li mocniny $(\sqrt{a})'=(a^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{a}}$, kde a je celý zlomek, který je pod odmocninou).

Dále vezmi naši derivaci logaritmu násobenou derivací odmocniny a vynásob to derivací další vnitřní funkce, tj. vynásob to derivací zlomku. Podíl se derivuje podle vzorce: $(\frac{b}{c})'=\frac{(b)' \cdot c - b \cdot (c)'}{c^2}$


↑ okurka:

Já ti nevím. Mě vyšla ta derivace drobánek jinak. Jdu si hledat chybu .)

Omrkněte výsledky derivace webových aplikacích (např. od přispěvovatele na foru: link


EDIT:

Zkusím to rozepsat, jak by se to dalo cca. řešit:

$  (ln{(\sqrt{\frac{1-sin(x)}{1+sin(x)}})})' = \nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot (\sqrt{\frac{1-sin(x)}{1+sin(x)}})' = \nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot (\frac{1-sin(x)}{1+sin(x)})' = \nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{(1-sin(x))' \cdot (1+sin(x)) - (1-sin(x)) \cdot (1+sin(x))'))}{(1+sin(x))^2} = \nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{(-cos(x)) \cdot (1+sin(x)) - (1-sin(x)) \cdot (cos(x))}{(1+sin(x))^2} =\nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{-cos(x)-cos(x)sin(x)-cos(x)+cos(x)sin(x)}{(1+sin(x))^2} = \nl = \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{\not{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{-\not{2}cos(x)}{(1+sin(x))^2} = \nl = - \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{1-sin(x)}}{\sqrt{1+sin(x)}}} \cdot \frac{cos(x)}{(1+sin(x))^2} = \nl = - \frac{\sqrt{1+sin(x)}}{\sqrt{1-sin(x)}} \cdot \frac{\sqrt{1+sin(x)}}{\sqrt{1-sin(x)}} \cdot \frac{cos(x)}{(1+sin(x))^2} = \nl = - \frac{[1+sin(x)]^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}}{[1-sin(x)]^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}} \cdot \frac{cos(x)}{(1+sin(x))^2} = \nl = -\frac{\not{(1+sin(x))}}{(1-sin(x))} \cdot \frac{cos(x)}{(1+sin(x))^{\not{2}}} = \nl = -\frac{cos(x)}{(1-sin(x))\cdot(1+sin(x))} = \nl = -\frac{cos(x)}{1-sin^2{x}} = \nl = -\frac{not{cos(x)}}{cos^\not{2}(x)} = \nl = -\frac{1}{cos(x)} $

A tady když si to zpočátku upravíš (viz. příspěvky od: okurka, Jelena).

$ (ln{(\sqrt{\frac{1-sin(x)}{1+sin(x)}})})' = \nl = (\frac{1}{2} (\ln(1-sin(x))-\ln(1+sin(x))))' = \nl = \frac{1}{2} \cdot (\ln(1-sin(x))-\ln(1+sin(x)))' = \nl = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-sin(x)} \cdot (-cos(x)) - \frac{1}{1+sin(x)} \cdot (cos(x)) =\nl = \frac{1}{2} \cdot \frac{-cos(x)}{1-sin(x)} - \frac{cos(x)}{1+sin(x)} =\nl = \frac{1}{2} \cdot \frac{-cos(x)-cos(x)sin(x) - cos(x)+cos(x)sin(x)}{(1-sin(x))(1+sin(x))} =\nl = \frac{1}{\not{2}} \cdot \frac{-\not{2}cos(x)}{1+sin^2(x)} =\nl = \frac{-\not{cos(x)}}{cos^{\not{2}}(x)} =\nl = -\frac{1}{cos(x)} $

Offline

 

#5 27. 11. 2008 20:31

okurka
Příspěvky: 44
Reputace:   
 

Re: derivace

↑ O.o:Já jsem to derivoval tak, že jsem si ten logaritmus rozložil na 2 logaritmy.

Offline

 

#6 27. 11. 2008 20:47 — Editoval O.o (27. 11. 2008 21:24)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ okurka:

Ono, když to přehodíš na dva logaritmy, tak bude potřeba stejně derivovat složenou funkci (dvakrát). Ale je fakt, že se ti to tak asi dost ulehčí :). Lepší bude rozepsat si to na dva logaritmy a derivovat to až poté. Pokud, ale neumí tazatel pořádně derivovat, tak si mžůe zkusit zderivovat to tak i onak a pak porovnat. Procvičením se dostane nejdále ;)

Offline

 

#7 27. 11. 2008 21:29

vive
Zelenáč
Příspěvky: 8
Reputace:   
 

Re: derivace

opravdu nevím, jak se k tomu došlo, ale ve výsledcích jsem pro první příklad našla výsledek

$y= -\frac{1}{cosx}$

Offline

 

#8 27. 11. 2008 21:35

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ vive:

Něco takového by snad i vyjít mohlo. Já jsem to zkoušel zderivovat, ale bez papíru udělám vždycky nějaké chyby. Mohl bych někoho požádat, jestli by to neomrknul (viz. můj prvý příspěvek v tomto vláknu)? Někde mi to tam muselo ujet s těmi odmocninami, atp. .(

Offline

 

#9 27. 11. 2008 21:37

melania
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: derivace

vedel by mi niekto pomôcť zderivovat tento zlomok...   9/x^2+3
slovom 9 lomeno x na druhu plus 3. potrebovala by som prvu a druhu derivaciu lebo mne to vyslo nejako cudne. prosim pomôzte kto viete aspon nieco

Offline

 

#10 27. 11. 2008 21:40 — Editoval O.o (28. 11. 2008 09:37)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ melania:

$  (\frac{9}{x^2+3})' = (9 \cdot (x^2+3)^{-1})' = 9 \cdot ((x^2+3)^{-1})' = 9 \cdot (-1) \cdot (x^2+3)^{-2} \cdot (x^2+3)' = 9 \cdot (-1) \cdot (x^2+3)^{-2} \cdot 2x = -18x \cdot (x^2+3)^{-2} \nl (\frac{9}{x^2+3})'' = (-18x \cdot (x^2+3)^{-2})' = -18 \cdot (x \cdot (x^2+3)^{-2})' = -18 \cdot (x^2+3)^{-2} + x \cdot (-2) \cdot (x^2+3)^{-3} $

Možná takto :)

EDIT: Oprava druhé derivece někde níže..

Offline

 

#11 27. 11. 2008 21:41 — Editoval jelena (27. 11. 2008 21:42)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: derivace

Pro kolegu O.o

Zdravím :-)

Já jsem omrkla :-) použij prosím toto úpravu:

$f(x) = \ln{\sqrt{1-sinx}}-\ln{sqrt{1+sinx}}=\frac12 \ln(1-sinx)-\frac12 \ln(1+sinx)=\frac12 (\ln(1-sinx)-\ln(1+sinx))$

Já musím stěhovat nábytek :-) - to je zvláštní, ale každým rokem v tuto dobu stěhuji nábytek.

OK?

Offline

 

#12 27. 11. 2008 21:46 — Editoval O.o (27. 11. 2008 22:33)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ jelena:

Nazdárek Jeleno :),

k této úpravě jsme se dostali s ↑ okurka:. Jen jsem to chtěl zkusit derivovat rovnou bez úpravy. Přeci by se mělo dojít ke stejnému výsledku :). Jen jsem se pak trochu ztratil v těch texových zápisech... ^.^

Jinak děkuji a moc to s tím stěhováním nepřehánějte ;)

EDIT: Už jsem si našel tu nepěknost, co mi to kazila. Když jsem přepisoval derivaci odmocniny, tak mi utekli exponenty .). Tak jsem to přepsal a vyšlo mi to ;)

↑ vive:

Derivovat to další už pro tebe určitě nebude problém. Jde o derivace součtu, takže vše derivuješ zvlášť, poté nezapomeň, jak se derivuje složená funkce, ok?

Offline

 

#13 27. 11. 2008 22:39

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: derivace

↑ O.o:

Určitě se to může derivovat i rovnou (a vídim i edit :-). Jen bych nedoporučovala psát takové vícepátrové zlomky, ale vybavit si, že 1/x je (x)^(-1) a 1/x^2 je  (x^2)(-1), proto se zlomky pracuješ tak, že jen "přetačiš" čitatel - jmenovatel. Jinak se v těch patrech dá ztrátit. Ale to jen takové doporučení od liných chemiků :-) 

Ale v otázce TeXu jsi nepřekonatelný :-)

Zdravím :-)

Offline

 

#14 28. 11. 2008 00:02

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: derivace

↑ O.o:

Vcelku souhlasím, jen u druhé derivace jsi u roznásobování napsal $y'' = -18\cdot (f\cdot g)' = -18\cdot f' g + f\cdot g'$ (obecně) a už jsi ten druhý člen nenásobil.

Offline

 

#15 28. 11. 2008 09:34 — Editoval O.o (29. 11. 2008 19:40)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ jelena:

Ahoj .),

no já když si to dělám na papír, tak to upravuji jak to jen jde - přeci jen lenost je mi naprosto vlastní :). Takhle to vlastně snad nikdy nerozepisuji, jen tady, abych nemátl tazatele (když neví, jak derivovat, tak se může podívat, jak postupně derivovat součet, součin, podíl, složenou funkci, .. - samozřejmě pouze pokud to nezvrtám, jak se mi stává často .))


↑ halogan:

Nazdar :),

díky moc, jsem pako. Vždycky někde zapomenu závorky ^.^, jak tam natexuji tři za sebou v jedné části ,tak už vůbec nevím, kde jsem se jich zbavil a kde ne .). Jinak, jak tak na to teď koukám, tak jsem tu druho uderivace stejně provedl špatně - zapomněl jsem při derivaci druhého členu součinu derivovat podel složené funkce .(, nebo ne?


EDIT:

Zkusím to přepsat:

$  (\frac{9}{x^2+3})'' = (-18x \cdot (x^2+3)^{-2})' = -18 \cdot (x \cdot (x^2+3)^{-2})' = -18 \cdot[ (x^2+3)^{-2} + x \cdot (2) \cdot (x^2+3)^{-1} \cdot (2x)]  $


PS: Jak dopadlo stěhování? :)


EDIT II:

Teď mne tak napadlo, že bych se chtěl také zeptat na drobnost u derivací (nechce se mi kvůli tomu zakládat nové téma, když už tady byli dva různé dotazy na derivace).

Ve škole při MAT nám nějak zběžně říkali, že když máme nějakou funkci (např. f(x)) a víme, že je prostá, tak k ní existuje inverzní funkce.

Dejme tomu, že jste po pořádném flámu a nemůžete si vzpomenout, jak tu inverzní funkci dostat (to už by asi musel být pořádný flám, ale berete to drobánek s nadhledem ;)), ale potřebujete její derivaci.

Z toho co nám říkali by stačilo udělat derivace původní funkce (f(x)) asi nějak takto:

$f(x) = sin(x), \ x \in <0; \ \pi> \nl f(x) \ na \ intervalu \ pro \ x \ prosta, \ tak \ derivace \ funkce \ k \ ni \ inverzni \ je: \nl (f^{-1}(x))' = \frac{1}{(f(x))'} \ asi \ bych \ to \ mel \ spis \ psat \ takto: \ \frac{1}{f'(x)$

Doufám, že jsem to nějak nezpletl. Pokud ne, tak by jsem se dostal na:

$  f(x) = sin(x), \ x \in <0; \ \pi> \ - \ prosta \nl (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(x)} \nl (f^{-1}(x))' = \frac{1}{(sin(x))'} = \frac{1}{cos(x)} $

No a teď jsem nějak v koncích. Nevím, co bych s tím měl dělat, abych dostal derivaci arkus sinu, mohl bych s tím požádat trochu o pomoc? Nějak mi to takhle totiž nevychází pro ani jednu z gon. funkcí .)

Děkuji za případnou odezvu..

Offline

 

#16 28. 11. 2008 12:37

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: derivace

↑ O.o:

Zdravím :-)

předně pojmy:

- "matematik po flamu" - chapu, "fyzik po flamu" a dokonce i "ekonom po flamu" OK, všechno chapu. Ale jak může být chemik po flamu, to nechapu. Až se dostané do takto trapné situace, tak mu opravdu už nezbyvá nic, než derivovat inverzní funkce.

- funkce sin(x) je prostá jen na (0, pi/2).

- vzpomen si na vzorec sin^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Matematikové možná vysvětlí to nějak jinak (já jsem jen nakoukla, neboť kontroluji, jak se mi podařilo napojit veškeré draty po stěhování - podařílo se :-)

-------------------
A jelikož jsem také kontrolovala sluchatka, tak co pravě poslouchám, ale už musím ještě uklizet (tomu se říká "dovolená")

Offline

 

#17 28. 11. 2008 15:05 — Editoval O.o (28. 11. 2008 17:12)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ jelena:

Hehe :), nakoenc ej jedno, kdo bude po flámu. Pokud vím, tak i chemik může být po flámu a mít krátkodobou amnézii způsobenou nadměrnou konzumací něčeho "dobrého".

Za interval se omlouvám, nemám tušení, jak jsem něco takového mohl vůbec napsat. Interval měl být původně: $<-\frac{/pi}{2};\frac{/pi}{2}>$.

Tak tenhle vzorec mne ještě napadl, ale tak nějak mi to stejně nepřipadá úplně stejné jako máme ve skriptech.

$ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \ => \ cos(x) = \pm \sqrt{1-sin^{2}(x)} \frac{1}{(sin(x))'} = \frac{1}{cos(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-sin^2(x)}} $

Derivaci arcsin(x) máme (snad - nikdy si derivace těch akrus funkcí nepamatuji) nějak takto: $(arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

To x^2 tak nějak nevím, jak tam dostat?


Tenhle song jsem určitě už někdy slyšel ;)

Offline

 

#18 28. 11. 2008 17:40

melania
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: derivace

↑ O.o: este by som k tomu potrebovala aky bude D(f), nulove body a monotonnost a este stacionarne body, k comu bola vlastne potrebna ta prva  a druha derivacia

Offline

 

#19 28. 11. 2008 21:20 — Editoval O.o (28. 11. 2008 21:29)

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ melania:

Když řešíš průběh funkce, tak prvou derivací zjistíš intervaly monotonosti (položíš prvou derivaci rovnu nule => zjistíš body podezřelé z extrému).

Druhou derivací zjistíš možné inflexní body a kde je funkce konvexní/konkávní.


Když vezmeme tvoji prvou derivaci, tak by se to dalo zjišťovat takto:

$ f'(x) = -18x \cdot (x^2+3)^{-2} = \frac{-18x}{(x^2+3)^2} = 0 \, \nl (x^2+3)^2 \ne 0 \ => \ x^4+6x^2+9 \ne 0 \ -> \ |x^2=a|: \ a^2+6a+9 \ne 0 => (a_1+3)(a_2+3) \ne 0 => a_{1,2} \ne -3 -> |x^2=a| -> x^2 \ne -3 \nl $

- Jako vždy začneš u zlomku stanovením podmínek. Tady jsme mohli říct hned na začátku, že jmenovatel nebude nulový nikdy (v R), protože $x^2$ nebude záporné číslo, tudíž nikdy nebude -3, aby jsme dostali nulu (do jmenovatele).

- Teď zjistíme, kdy je první derivace rovna nule:

$ f'(x) = -18x \cdot (x^2+3)^{-2} = \frac{-18x}{(x^2+3)^2} = 0 \ => \ x=0 $

- Zjistili jsme, že první derivace je rovna nule pouze, když je x=0. Rozdělíme si tedy osu reálných čísel (pokud řešíme v R) nulou na dva intervaly.

                     (-oo)----------(0)----------(+oo)

- Já bych ti doporučoval, abys si tuto osu ještě rozdělila dalšími "podivnými" body, tj. např: kdy nemá předpis funkce smysl (např. kdy je ve jmenovateli nula, ...), kdy nemá smysl prvá derivace, a další co se ti nebudou líbit.

- Zjistili jsme, že první derivace je rovna nule, když x=0 a to znamené, že jsme zjistili bod (nulu) podezřelý z extrému. Takže zjistíme jaká znaménka má první derivace vlevo a vpravo od nuly, jak? Jednoduchým dosazením nějakých hodnot vlevo od nuly do prvé derivace a pak hodnot zprava od nuly, jdeme na to ;)

$ (x = -5): \nl f'(-5) = \frac{-18(-5)}{((-5)^2+3)^2} \ => \ f'(x) > 0 \nl (x = 5): \nl f'(5) = \frac{-18(5)}{((5)^2+3)^2} \ => \ f'(x) < 0 \nl $

- Zjistili jsme, že první derivace je vlevo do nuly kladná (tzn. funkce je na tomto intervalu stoupající), zatímco vpravo od nuly je záporná, tudíž je funkce na tomto intervalu klesající. Zároveň jsme zjistili, že má funkce (f(x)) v nule lokální extrém a to přesněji lokální maximum (zleva funkce stoupá a doprava klesám takže nula je nejvyšší hodnoty v této části funkce - proto lokální extrém, respk. lokální maximum).

- Intervaly monotonosti jsou tedy (-oo; 0) a (0; oo)


Obdobně postupuješ u druhé derivace, jen místo toho, zda-li je stoupající nebo klesající zjistíš, zda-li je konvexní či konkávní (platí, když je: f''(x)>0 => f(x) je konvexní; f''(x)<0 => f(x) je konkávní)



Definiční obor funkce f(x): bude R, protože za x můžeme dosadit cokoli a přitom bude mít funkce vždy smysl (samozřejmě pouze pokud funkci řešíme v R, budu předpokládat, že ano, protože jse mám to tušení nepsala jinak).

- Nulové body si myslím, že u f(x) nejsou a u f'(x) také ne, u druhé derivace nevím, teď si ji nepamatuji a edituji .). Vkaždém příapdě nulové body zjistíš jednoduše. Stačí zjistit, kdy ej funkce rovna nule (potažmo její derivace). Já jsem to dělal jen u té derivace, ale obdoběn to udělej i u druhé a u samotné funkce (tzn. postav f(x) rovno nule a zjisti, kdy to rovno nule je, poté postav druho uderivaci rovnu nule a zjisti, kdy tomu tak je - pokud vůbec!).

- Stacionární bod je ten, kdy je první derivace rovna nule (tj. f'(x) = 0; to jsme zjistili pro x = 0).

- Monotonost jsme zjistili u první derivace (viz. výše v tomto příspěvku) ;)


Je to takto srozumitelné?


Tedy snad se nepletu, prosím někoho o případnou opravu, není mi dobře, tak teď nějak nemám přehled co píši

Offline

 

#20 28. 11. 2008 22:10

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: derivace

↑ O.o:

Však už to máš: na intervalu <-pi/2, +pi/2>

$sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \ =>\ cos(x) =\sqrt{1-sin^{2}(x)}$ dosazuj do tvého výsledku pro

$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{(sin(x))'} = \frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{\sqrt{1-sin^{2}(x)}}=\frac{1}{\sqrt{1-(f(x))^2}}$

teď si vybav, že když se tvoří inverzní funkce, tak v posledním kroku "přehazujeme" y za x, třeba:

f(x): y= 2x-5, y-5=2x, x= (y-5)/2 . A v tomto kroku "formálně přejmenovávame" :-)

a píšeme, že inverzní funkce f^(-1) (x): y= (x-5)/2

A stejné "formální přejmenování" proved i ve svém případě. OK?

nebo nech se inspirovat zde: http://matematika.cuni.cz/dl/analyza/07 … r-pmin.pdf - na str. 3 (skok na příklady - ovšem nevím, proč tam maji takové podívné obrázky)

---------------------

Dobra, upřesním, že chemik muze byt po flamu pouze jednou  - pak by už si měl stanovit prahovou koncentraci v krevním obehu (nač ho, myslíš, uči trojčlenku?)

Jinak tuto debatu necham na jindy :-) neboť v tomto tématu už je pěkný salat :-)

Offline

 

#21 28. 11. 2008 22:17

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ jelena:

Nějak mne teď bolý hlava, tak se na ten odkaz mrknu ráno, vkaždém případě děkuji .)

Jen pozn. takže nahradím celý výraz sin^2(x) za y? Já myslel, že mám změnit pouze ty neznámé, asi jsem dnes už hodně unavený :)



OT: Když sjem tedy abstinent, tak se učím trojčlenku vlastní nějak nevhodně navíc, že (vzhledem k rozsahu paměti)? ;)

Co když ti chemici neumí pořádně trojčlenku? Mohli by si tu hranici stanovit tak vysoko, že by se otrávili :)

Offline

 

#22 29. 11. 2008 09:25 — Editoval jelena (29. 11. 2008 09:30)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29854
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   90 
 

Re: derivace

↑ vive:

Zdravím :-)

druhé zadání z úvodního příspěvku nějak zapadlo, tak snad jsem to příliš nezvrtala (standardně "rozbaluji" vnitřní funkce rovnou za sebou, ale zde jsem radej vyznačila, ať je to trochu přehledne :-)

$f(x)=\sqrt[3]{\frac{\sin^2x + x }{\cos^2x - x }} +x^3\cos(\ln x+e^x)$

$f'(x)=\frac13\cdot{\left({\frac{\sin^2x + x }{\cos^2x - x }\right)^{(\frac13-1)}\cdot{\left({{\frac{\sin^2x + x }{\cos^2x - x }}\right)' +[3x^2\cos(\ln x+e^x)+x^3(-\sin(\ln x+e^x))\cdot{(lnx+e^x)'}] $

$f'(x)=\frac13\cdot{\sqrt[3]{\left(\frac{\cos^2x - x }{\sin^2x + x }\right)^{2}}\cdot{{\frac{(2\sin x \cdot{\cos x} + 1)(\cos^2 x - x)-(\sin^2 x + x)(2 \cos x\cdot(-\sin x)-1)}{(\cos^2 x-x)^2 }}+$
$+[3x^2\cos(\ln x+e^x)+x^3(-\sin(\ln x+e^x))\cdot{(\frac1x+e^x)}] $

$f'(x)=\frac13\cdot{\sqrt[3]{\left(\frac{\cos^2x - x }{\sin^2x + x }\right)^{2}}\cdot{{\frac{(2\sin x \cdot{\cos x} + 1)(\cos^2 x - x)+(\sin^2 x + x)(2 \cos x\cdot \sin x+1)}{(\cos^2 x-x)^2 }}+$
$+[3x^2\cos(\ln x+e^x)-x^3(\sin(\ln x+e^x))\cdot{(\frac1x+e^x)}] $

OT: pro kolegu O.o

1) v inverznich funkcích vždy "formálně přejmenujeme" proměnné, žádný jiný figl tam není.

2) proč si myslíš, že matematika je u vás vyřazovací předmět? - pravě proto, abyste uměli trojčlenku.

3) ať už hlava nebolí a případně se ozví (všímní si mého pravopisu na závěr sloves, OK :-). Zdravím a moc přeji trochu odpočínku :-)

Offline

 

#23 29. 11. 2008 09:52

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ jelena:

Ty máš ty derivace, tak pěkně rozepsané, jen nevím, zda-li původní tazatel(ka) stále sleduje topic.. .)


Ahoj ahoj ahoj :),

add 1) Takže prostě nahradím x za y, ale to mi tam stále nezůstane x^2? $\frac{1}{sin^2(y)}$? Teď mi přijde, že je na tom něco podivného.. :)

add 2) Matematika je až druhý vyřazovací, tak ta trojčlenka pravděpodobně nebude, tak důležitá jako hloupé rovnice z chemie (hloupé proto, že se je musíme učit nazpaměť, ale přitom se nám téměř nikdy - na přednáškách nikdy - nezmínili, na jakém principu to funguje => mne připadá, že z té školy nemůže vyjít chemik, když ani nebdue umět doplnit nějakou reakci, kterou nidky neviděl, přeci to nějak funguje, tak proč nás neučí spíš jak to je?

  To je jen můj výlev, už jsem to někde musel ventylovat, protože jsem strašně nazlobený! :)

Nesnáším vysvětlení: "Takhle to prostě je, to mi budete muset věřit".
  Co je to za blbost? To jsem se tak zmýlil, když jsem předpokládal, že na vysoké škole nám konečně vysvětlí, proč to tak je? Na tuhle školu kdybych nechodil, tak přijdu akorát o ty zajímavé hodiny matematiky, zbytek je jen biflování nazpaměť.
  Vůbec nechápu, jak se mohou spokojit s tím, když se nás zeptají na oxidační vlastnosti kyslíku a my jim na to vysolíme nějakou reakci, co nám k tomu řekli, aby jsme se naučili? Já být tím kantorem, tak je mi jedno, jestli umí čtyřista lidí dvacet reakcí ke každému prvku v periodické tabulce, ale pěkně by mne štvalo, kdyby nevěděli proč se to tak dělá (zeptáš se člověka z prvního ročníku VŠCHT, co je to elektronová hustota a z 95% ti to nikdo neřekne - zbytek ti to řekne, protože to znají ze střední)?
  Když s tímhle skončí člověk bakaláře, tak si může říkat chemik? Tyhle "znalosti" (a rozsáhleji - lépe) si můžu zjistit z knihy také a nemusím ani chodit na vysokou školu!
Co je tohle za systém? Rozumím tomu, že je spousta věcí nezjištěných (prozatím), různé pochody v těle (viz. biochemie), atp... Ale tyhle elementární vlastnosti už mají nějak dokázané a vědí proč to tak je (alespoň u většiny z toho, co s námi probírají), tak proč se neučí spíš to?
  Ehm, raději to ukončím tím, že mi to prostě a jednoduše přijde na hlavu - fyzik ze mne také nebude proto, že vím: "když hodím kámen kousek nahoru, tak spadne zase dolů", ale spíš díky tomu, když budu vědět proč to tak je, nebo ne?

add 3) Teď jsem tak trochu zapletený do rodného jazyka :). Nebyl jsem si s tím i/y na konci toho slova jistý, tak jsem si říkal - ženský rod, mužského jsem si nevšiml, tak by tam mohlo být "ý" .). Holt lingvista ze mne nikdy nebdue (respk. znalec češtiny) :)

Raději bych ukončil OT, případnou odpověď by bylo možná lepší směřovat do "Ostatní", co říkáš Jeleno? :)

Offline

 

#24 29. 11. 2008 19:08

melania
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

Re: derivace

dakujem velmi pekne za pomoc. dnes som nad tym priebehom stravila cele popoludnie tak aj preto pisem az teraz a este tam mam cosi dokoncit. len druha derivacia mi vysla nejako inak, postupovala som podla vzorca pre delenie a ked mi v citateli vznikla zlozena funkcia tak som zderivovala aj vnutorneho cinitela podla pravidla o zlozitych derivaciach, zlomok som neodstranovala. myslim a dufam ze by to takto mohlo byt dobre. snad za to dostanem aspon par bodov

Offline

 

#25 29. 11. 2008 19:43

O.o
Moderátor
Příspěvky: 1402
Reputace:   16 
 

Re: derivace

↑ melania:

Mám to tušení, že jsem tu druhou derivaci zvrtal, to se mi stává .)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson