Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 14.08.2020 (Jel.) Prosím o podporu Obnovení modelového kolejiště modelářů ze Lhoty (u Opavy). Děkuji!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 11. 2012 21:29

Pedr0
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Rovnice - množiny

ahoj,
lámu si tu hlavu nad takovou rovnicí, kterou jsem upravil na tento tvar:
Jedná se o množinové operace mezi 3 libovolnými množinami A,B,C:

$(A\setminus B) \cap C = (C\setminus B) \cap (A\triangle B)$

Ve výsledcích je psáno, že by rovnost měla platit. Zkoušel jsem dosazovat a i po úpravě na tento tvar mi to opravdu vycházelo. Co mi není jasné, jak tento vztah ještě upravit tak, aby se levá strana rovnala pravé a bylo tedy na první pohled patrné, že se obě strany rovnají. Věděl by někdo?

Děkuju za případné rady :)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Hanis)

#2 16. 11. 2012 21:47

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Rovnice - množiny

Ahoj, lomítko je množinový rozdíl?
A delta znamená co?
Děkuji

Offline

 

#3 16. 11. 2012 21:52 — Editoval Pedr0 (16. 11. 2012 21:53)

Pedr0
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Rovnice - množiny

↑ Hanis:

ano $\setminus $ - je množinový rozdíl

$A\triangle B $ - je symetrický rozdíl množiny A a B. Je to množina prvků, které se nachází v lichém počtu množin - v tomto případě buď v A nebo B - nepatří tam tedy jejich průnik.

Offline

 

#4 16. 11. 2012 21:53

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Rovnice - množiny

Ahoj ↑ Pedr0:,
ja som si znázornila ľavú aj pravú stranu pomocou Vennových diagramov pre tri množiny a šrafovaním som sa presvedčila, že rovnosť platí. Z obrázkov sa tiež ponúka ďalšie vyjadrenie tej množiny, a síce $(A\cap C)\setminus B$.
Šrafovanie na Vennových diagramoch za presný matematický dôkaz nepovažujeme, takže sú nám dobré na to, aby sme zistili, čo vlastne pravdepodobne platí. Dôkaz by bolo možné urobiť na základe definície rovnosti množín a definície jednotlivých množinových operácií.


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#5 16. 11. 2012 22:12 — Editoval Hanis (16. 11. 2012 22:20)

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Rovnice - množiny

↑ Arabela:
Zdravím :-)
Jak nám je vtloukáno do hlavy, obrázek není důkaz :-)

Důkaz: Označme pravou stranu rovnoosti P.

$x\in P\Leftrightarrow x\in(C\setminus B) \cap (A\triangle B)\Leftrightarrow (x \in C \wedge x \not\in B)\wedge((x \in A \wedge x \not\in B)\vee(x \in B \wedge x \not\in A))\Leftrightarrow$
"Roznásobíme první závorkou druhou"
$\Leftrightarrow(x \in C \wedge x \not\in B \wedge x \in A \wedge x \not \in B)\vee(x \in C \wedge x \not \in B \wedge \x \in B \wedge x\not \in A)\Leftrightarrow$
Druhá část alternativy nikdy neplatí, kvůli x patří a nepatří do B, první část obsahuje dvakrát x nepatří do B, jedno odstraníme.
$\Leftrightarrow((x \in A \wedge x\not\in B)\wedge x\in C)\Leftrightarrow(x\in(A\setminus B)\cap C)\Leftrightarrow x \in L $

Offline

 

#6 16. 11. 2012 22:18

Arabela
Příspěvky: 1927
Reputace:   181 
Web
 

Re: Rovnice - množiny

Ahoj ↑ Hanis:,
presne toto som mala na mysli...:)


server.gphmi.sk/~domanyov

Offline

 

#7 16. 11. 2012 23:08 — Editoval Pedr0 (16. 11. 2012 23:09)

Pedr0
Zelenáč
Příspěvky: 9
Reputace:   
 

Re: Rovnice - množiny

Děkuji vám oběma, slečny.
Vennovy diagramy dokázaly to, že jsem postupoval při úpravách správně a rovnost zůstala zachována, to jsem rád. A ten důkaz, na ten bych asi sám nepřišel, nevím. Začátek jsem totiž řešil vyjádřením jedné operace jinými, aby se obě strany co nejvíc podobaly. Když to ale člověk vidí rozepsané, tak to vypadá vcelku snadně :)

Offline

 

#8 17. 11. 2012 12:11

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Rovnice - množiny

Já mám k slečně dost daleko, doufám....

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson