Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 22. 12. 2012 14:51

Fobl
Příspěvky: 191
Škola: FAV ZČU
Pozice: student
Reputace:   
 

Určení matice lineárního zobrazení v bázích

Dobrý den.
Potřeboval bych pomoct.
Dělí snad jen 1/3 příkladu od zápočtu. Byla by to docela velká smůla, abych neměl nárok na zápočet, když už se mi samotnému povedlo jinak vše ostatní vyřešit.
Vím si rady s tím, jak ukázat, zda zobrazení je lineární a rozhodnout, zda dané zobrazení je izomorfismus, ale už mi nejde určit matici lineárního zobrazení v bázích.
Je dáno zobrazení L: M2,2 → P3 předpisem

L ([a  b
     c  d]) = (a + 2b – c)x3 + (-a + 2c – d)x2 + (b + c + 2d)x + (3b + 2c + d).
(a) Ukažte, že zobrazení je lineární.
(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
B1 =  1   2  B2= 0   1   B3=  0  0  B4= 2  0
         0   0,        2   0           1  2         0  1 prostoru M2,2,
p1(x) = x3 + x2 + x, p2(x) = x3 + x2 + 1, p3(x) = x3 + x + 1, p4(x) = x2 + x + 1 prostoru P3.
(c) Rozhodněte, zda dané zobrazení je izomorfismus.
Výsledky:
a) Zobrazení je lineární
b) A= 1/3  [-6    -7   -4  -1]
                   6     5   -7  -4
                 15     2    8  11
                [ -3   14  11  -4]

c) Zobrazení není izomorfismus, protože KerL ≠ 0, prvek [-11  3
                                                                                     -5   1]  ∈ KerL, matice A zobrazení L není matice regulární.

Offline

 

#2 23. 12. 2012 17:58 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:01)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

↑ Fobl:
Skúsim ako prvú vec prepísať zadanie, lebo sa mi to nezdá moc čitateľné.

Je dáno zobrazení $L \colon M_{2,2}\to P_3$ předpisem
$L\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=(a + 2b – c)x^3 + (-a + 2c – d)x^2 + (b + c + 2d)x + (3b + 2c + d)$

(a) Ukažte, že zobrazení je lineární.
(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
$B_1=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$, $B_2=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$, $B_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&2\end{pmatrix}$, $B_4=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$  prostoru M2,2,
$p_1(x) = x^3 + x^2 + x$, $p_2(x) = x^3 + x^2 + 1$, $p_3(x) = x^3 + x + 1$, $p_4(x) = x^2 + x + 1$ prostoru P3.
(c) Rozhodněte, zda dané zobrazení je izomorfismus.

Výsledky:
a) Zobrazení je lineární
b) $A=\frac13
\begin{pmatrix}
  -6 & -7 & -4 & -1 \\
   6 &  5 & -7 & -4 \\
  15 &  2 & 8 & 11 \\
  -3 & 14 & 11 & -4 \\
\end{pmatrix}$

c) Zobrazení není izomorfismus, protože $\operatorname{Ker}L  \ne 0$, prvek $\begin{pmatrix}-11& 3\\-5&  1\end{pmatrix}  \in \operatorname{Ker}L$, matice A zobrazení L není matice regulární.

Offline

 

#3 23. 12. 2012 18:04 — Editoval kompik (23. 12. 2012 18:11)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

kompik napsal(a):

(b) Určete matici A lineárního zobrazení L v bázích
$B_1=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$, $B_2=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}$, $B_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&2\end{pmatrix}$, $B_4=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$  prostoru M2,2,
$p_1(x) = x^3 + x^2 + x$, $p_2(x) = x^3 + x^2 + 1$, $p_3(x) = x^3 + x + 1$, $p_4(x) = x^2 + x + 1$ prostoru P3.

Nuž prvý krok by mal byť povedať, čomu sa rovná $L(B_i)$ pre i=1,2,3,4. (A potom sa ich snažiť vyjadriť pomocou tých polynómov.)

EDIT: Keďže v tom priestore P3 je veľmi pekná báza, človek si môže všimnúť, že $p_1(x)+p_2(x)+p_3(x)+p_4(x)=3(x^3+x^2+x+1)$.

Z toho dostaneme:
$x^3=\frac{p_1(x)+p_2(x)+p_3(x)-2p_4(x)}3$
$x^2=\frac{p_1(x)+p_2(x)+p_4(x)-2p_3(x)}3$
$x=\frac{p_1(x)+p_3(x)+p_4(x)-2p_2(x)}3$
$1=\frac{p_2(x)+p_3(x)+p_4(x)-2p_1(x)}3$
Pomocou tohoto môžeme vcelku jednoducho previesť vyjadrenie polynómu v báze x^3,x^2,x,1 do vyjadrenia v báze p_1(x),...,p_4(x).

Offline

 

#4 25. 12. 2012 18:17

Fobl
Příspěvky: 191
Škola: FAV ZČU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

↑ kompik:
Dobrý den.
Ještě přemýšlím nad tím, jak zjistím L(Bi) a výsledné matici A lineárního zobrození. Možná, že kdyby mně to béčko někdo ukázal, jak se to počítá, tak by mně to velice pomohlo. Např. pokud bych měl nějaký podobný příklad u zkoušky, tak bych poté už věděl, jak ho řešit.

Offline

 

#5 25. 12. 2012 18:52 — Editoval kompik (25. 12. 2012 18:52)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: Určení matice lineárního zobrazení v bázích

↑ Fobl:
$L(B_1)=5x^3-x^2+2x+6=\frac{-6p_1(x)+6p_2(x)+15p_3(x)-3p_4(x)}3$
Získali sme prvý stĺpec matice zobrazenia. (To či sa to píše do riadkov alebo do stĺpcov závisí od toho, či používame riadkové alebo stĺpcové vektory - v podstate je to vec konvencie, nejako ste to mali na prednáške zavedené.)

A zopakujem, že tu sme mali úlohu výrazne zjednodušenú tým, že bola zadaná veľmi pekná báza a vedeli sme ľahko vyjadriť $1,x,x^2,x^3$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson