Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 04. 2013 20:00

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

druhá derivace konvexní funkce

Ahoj,
potřebovala bych poradit s tímto problémem:

Mám konvexní funkci f a vím, že existuje její první derivace, která je nezáporná. Můžu předpokládat, že existuje i druhá derivace funkce f?


Budu ráda za jakoukoliv pomoc:)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 09. 04. 2013 20:30

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5272
Reputace:   200 
Web
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

ne

Offline

 

#3 09. 04. 2013 20:34

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

↑ Stýv:
A předpokládáme-li spojitost 1.derivace?

Offline

 

#4 09. 04. 2013 21:26

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5272
Reputace:   200 
Web
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

to taky nepomůže, např. $f$ taková, že $f'(x)=x^++1$ splňuje tvoje předpoklady, ale nemá druhou derivaci v 0

Offline

 

#5 09. 04. 2013 21:30

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

↑ Stýv:
Dobře. Chtěla jsem dokázat, že mám-li distribuční funkci F konvexní na intervalu $(-\infty,m]$ a konkávní na $[m,\infty)$, pak f = F' je rostoucí  $(-\infty,m]$ na a klesající na $[m,\infty)$.

f je hustota a je nezáporná. Lze toto nějak dokázat?

Offline

 

#6 10. 04. 2013 12:28

martisek
Příspěvky: 914
Škola: MU Brno
Pozice: učitel, FSI VUT v Brně
Reputace:   52 
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

↑ drabi:

Myslím, že ne - konstantní funkce je totiž konkávní i konvexní současně a na intervalech, kde je distribuční funkce konstantní,je konstantní i hostota. Ale slabší tvrzení kde se místo rostoucí resp. klesající použije neklesající resp. nerostoucí, je myslím v pořádku.


Wolfram ani jiný chemický prvek matematiku nenaučí.

Offline

 

#7 10. 04. 2013 12:37

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

↑ martisek:
Díky za odpověď.
S tou nerostoucí/neklesající bych se nejspíš spokojila. Ale jak toto dokázat? Mohl bys mi prosím poradit?

Offline

 

#8 11. 04. 2013 17:21

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: druhá derivace konvexní funkce

tak tedy pro zájemce jsem konečně dala dohromady důkaz:


Distribuční funkce $F$ je na intervalu $(-\infty,m]$ konvexní.
Pro každé $x,y \in (-\infty,m]$ a pro každé $\lambda \in [0,1]$ tedy platí 
$F[\lambda x + (1-\lambda)y] \leq \lambda F(x) + (1-\lambda) F(y)$. (*)

Nech $x < y$. Nech $f$ je hustota $X$, potom platí vztah $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, \mathrm{d}t$.

Dosadíme-li do (*) dostáváme
$\int_{-\infty}^{\lambda x + (1-\lambda)y} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \lambda \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + (1-\lambda)\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t$

Volíme $\lambda = \frac{1}{2}$ a upravujeme
$
    \int_{-\infty}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\
    \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\
    \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t &\leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t - \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t\\
        \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t& \leq \frac{1}{2} \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t + \frac{1}{2} \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t\\
        \frac{1}{2}\int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t& \leq \frac{1}{2} \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t.
$
Pro spor předpokládejme, že funkce $f$ je klesající. Potom platí
$
    f\left(\frac{x+y}{2}\right) \frac{y-x}{2} < \int_{x}^{\frac{x+y}{2}} f(t) \, \mathrm{d}t \leq \int_{\frac{x+y}{2}}^{y} f(t) \, \mathrm{d}t < f\left(\frac{x+y}{2}\right) \frac{y-x}{2}.
$
Na obou stranách ostré nerovnosti máme stejný výraz, což je spor. Tedy funkce $f$ je neklesající.
Stejným způsobem lze dokázat, že je-li $F$ konkávní, pak $f$ je nerostoucí.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson