Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 06. 2013 22:43

Avokado
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

normalne podgrupy grupy

dobry vecer.

mam zadanie: najdide nejake podgrupy dihedralej grupy $D_{5}$ a zistite ci su normalne podgrupy

nasiel som podgrupy radu 1,2,5,10. podgrupa radu 1 je tvorena identickou permutaciou. podgrupa radu 10 je ta ista co D5 ma desat prvkov. tieto dve podgrupy su normalne grupy to viem.

chcem sa opytat na podgrupy radu 2 a 5, ako budu vlastne vyzerat ? ako si ich predstavit a ake prvky(permutacie) obsahuju aby som mohol overit ci su aj normalne podgrupy ?
napr v podgrupe radu dva je to identicka permutacia a lubovolna permutacia o 2 prvkoch aby mala permutacia rad 2 ??
bude tak nejak vyzerat aj podgrupa radu 5 ?

dakujem vopred za vasu pomoc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Avokado)

#2 08. 06. 2013 11:29 — Editoval kompik (08. 06. 2013 11:32)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 353
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: normalne podgrupy grupy

Vždy platí, že ak |G|/|H|=2, tak H je normálna podgrupa.  (Skús si rozmyslieť prečo.)

Takže 5-prvkové podgrupy máš zadarmo a zostáva to overiť už len pre 2-prvkové.

Musím sa však priznať, že nerozumiem tvojej otázke. Najprv píšeš, že si našiel všetky podgrupy a potom sa pýtaš aké prvky obsahujú.
Ak nevieš, aké prvky sú v nich, čo konkrétne myslíš pod tým, že si tie podgrupy našiel?

Avokado napsal(a):

dobry vecer.
nasiel som podgrupy radu 1,2,5,10. podgrupa radu 1 je tvorena identickou permutaciou. podgrupa radu 10 je ta ista co D5 ma desat prvkov. tieto dve podgrupy su normalne grupy to viem.

chcem sa opytat na podgrupy radu 2 a 5, ako budu vlastne vyzerat ? ako si ich predstavit a ake prvky(permutacie) obsahuju aby som mohol overit ci su aj normalne podgrupy ?

Offline

 

#3 08. 06. 2013 11:42 — Editoval Avokado (08. 06. 2013 11:50)

Avokado
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Re: normalne podgrupy grupy

↑ kompik:
mali by platiť vety:
rad podgrupy konecnej grupy G je delitelom radu grupy G(alebo Sylow: ak rad konecnej grupy je delitelny prvocislom p tak obsahuje podgrupu radu p)
rad prvku konecnej grupy G je delitelom radu grupy G

Práveže by som nesúhlasil s :" Vždy platí, že ak |G|/|H|=2, tak H je normálna podgrupa. " Pretože práve táto podrupa rádu 2 nieje normálna podgrupa D5. Normálne sú 1,5,10. Preto ma zaujíma ako vyzerajú tieto pdgrupy, respektíve ktoré prvky obsahujú aby som to potom dokázal ľahko overiť.

A ešte som zabudol na podstatnú vec čo som sa chcel opýtať. D5 obsahuje teda 10 prvkov. Keby som chcel vypísať tieto permutácie, ktoré to sú ?

Offline

 

#4 08. 06. 2013 11:58

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 353
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: normalne podgrupy grupy

Avokado napsal(a):

↑ kompik:
Práveže by som nesúhlasil s :" Vždy platí, že ak |G|/|H|=2, tak H je normálna podgrupa. " Pretože práve táto podrupa rádu 2 nieje normálna podgrupa D5. Normálne sú 1,5,10.

Lenže ja som horovil o podgrupách indexu 2, nie rádu 2.
Je rozdiel medzi podmienkami |G|/|H|=2 a |H|=2.

Skutočne každá podgrupa indexu 2 je normálna - dôkaz nie je ťažký, a ak ho nebudeš vedieť vymyslieť, tak ho určite ľahko nájdeš.
http://www.google.com/search?q=subgroup … ot;+normal
http://www.google.com/search?q=podgrupa … ;+normalna
http://www.google.com/search?q=podgrupa … ;+normalni

Offline

 

#5 08. 06. 2013 12:03

Avokado
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Re: normalne podgrupy grupy

↑ kompik:
Aha, ospravedlňujem sa :)

kazdopadne stale by ma zaujimalo ako vyzeraju tie podgrupy a celkovo grupa D5. ake prvky obsahuju.

Offline

 

#6 08. 06. 2013 12:04 — Editoval kompik (08. 06. 2013 12:14)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 353
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: normalne podgrupy grupy

Avokado napsal(a):

A ešte som zabudol na podstatnú vec čo som sa chcel opýtať. D5 obsahuje teda 10 prvkov. Keby som chcel vypísať tieto permutácie, ktoré to sú ?

Asi je prirodzené označiť si vrcholy 5-uholníka po rade 1,2,3,4,5.

Máme 5 rotácií: (12345), (23451), (34512), (45123), (51234)
A 5 osových symetrií: (25)(34), (13)(45), (15)(24), (12)(35), (14)(23)
(Keď si vyberieš vrchol, ktorým prechádza os, ľahko zistíš, ako sa menia ostatné vrcholy.)

Neviem, či na zostavenie grupovej tabuľky je vhodnejšia permutačná reprezentácia alebo skôr geometrická predstava. (Myslím, že pri riešení tejto úlohy sa oplatí napísať si Cayleyho tabuľku.)

EDIT: Tu je tabuľka, ktorú som len mechanicky doplnil podla pravidiel z Wikipedie

$\begin{array}{c|cccccccccc}
    & R_0 & R_1 & R_2 & R_3 & R_4 & S_0 & S_1 & S_2 & S_3 & S_4 \\\hline
R_0 & R_0 & R_1 & R_2 & R_3 & R_4 & S_0 & S_1 & S_2 & S_3 & S_4 \\
R_1 & R_1 & R_2 & R_3 & R_4 & R_0 & S_1 & S_2 & S_3 & S_4 & S_0 \\
R_2 & R_2 & R_3 & R_4 & R_0 & R_1 & S_2 & S_3 & S_4 & S_0 & S_1 \\
R_3 & R_3 & R_4 & R_0 & R_1 & R_2 & S_3 & S_4 & S_0 & S_1 & S_2 \\
R_4 & R_4 & R_0 & R_1 & R_2 & R_3 & S_4 & S_0 & S_1 & S_2 & S_3 \\
S_0 & S_0 & S_4 & S_3 & S_2 & S_1 & R_0 & R_4 & R_3 & R_2 & R_1 \\
S_1 & S_1 & S_0 & S_4 & S_3 & S_2 & R_1 & R_0 & R_4 & R_3 & R_2 \\
S_2 & S_2 & S_1 & S_0 & S_4 & S_3 & R_2 & R_1 & R_0 & R_4 & R_3 \\
S_3 & S_3 & S_2 & S_1 & S_0 & S_4 & R_3 & R_2 & R_1 & R_0 & R_4 \\
S_4 & S_4 & S_3 & S_2 & S_1 & S_0 & R_4 & R_3 & R_2 & R_1 & R_0 \\
\end{array}$

Offline

 

#7 08. 06. 2013 12:17

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 353
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   53 
 

Re: normalne podgrupy grupy

Avokado napsal(a):

kazdopadne stale by ma zaujimalo ako vyzeraju tie podgrupy a celkovo grupa D5. ake prvky obsahuju.

Keď už máme tabuľku (alebo dostatočnú geometrickú predstavu o tom, aké transformácie sú v našej grupe), tak nájdenie podgrúp rádov 2 a 5 je ľahké.

Čísla 2 a 5 sú prvočísla, podgrupy takých rádov musia byť teda cyklické (generované jedným prvkom).

Stačí nájsť všetky prvky rádu 2, každý takýto prvok mi vygeneruje podgrupu rádu 2.

To isté platí pre rád 5.

Žiadne ďalšie podgrupy rádov 2 a 5, okrem tých, ktoré sa dajú nájsť takto, už nie sú.

Offline

 

#8 08. 06. 2013 12:57

Avokado
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Re: normalne podgrupy grupy

↑ kompik:
ano ano ano, presne toto som potreboval :) teraz mi je to uz vsetko uplne jasne.
dakujem moc krat

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson