Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 06. 2013 10:08

xort
Zelenáč
Příspěvky: 9
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Ověření řešení Besselovy rovnice

Prosím o pomoc.
Mám Besselovu rovnici
$z^{2}\frac{\partial^{2}w(z) }{\partial z^{2}}+z\frac{\partial w(z)}{\partial z}+w(z).(z^{2}-\nu ^{2})=0$

a k ní řešení tvaru
$w(z)=c.J_{\nu } + d.J_{-\nu }$

kde
$J_{\nu }=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!.\Gamma (\nu +k+1)}(\frac{z}{2})^{2k+\nu }$

Potřebuji ověřit, že toto řešení Besselovu rovnici skutečně řeší, ale stále mi to nevychází. Nevím, zda ve výpočtu dělám chybu, nebo si neuvědomuji nějaký další postup.
Řešení jsem  upravil do tvaru
$J_{\nu }=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{k!.\Gamma (\nu +k+1){2}^{2k+\nu }}{z}^{2k+\nu }$
a protože derivuji podle z. vše ostatní beru jako konstantu, pro zjednodušení zápisu celý zlomek označuji jako p_k.

1.derivace
$J_{\nu }'=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu -1}$

2. derivace
$J_{\nu }''=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu -2}$

Po dosazení do Besselovy rovnice
$z^{2}\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu -2}+z\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu -1}+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu}.(z^{2}-\nu ^{2})=0$

Což dále upravuji
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu)(2k+\nu-1){z}^{2k+\nu }+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.(2k+\nu){z}^{2k+\nu }+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu}.(z^{2}-\nu ^{2})=0$
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{(2k+\nu)(2k+\nu-1)+(2k+\nu)+z^{2}-\nu ^{2}\}=0$
$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu +z^{2}\}=0$

U tohoto tvaru jsem se poněkud zasekl. Obměnami postupu jsem se stejně vždy dopracoval sem. Buď je to špatně, nebo se mi dosud nepodařilo odhalit, jak s tímto správně pracovat dál. Prosím o radu, pokud někdo víte či máte nápad, co s tím. Děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) xort)

#2 30. 06. 2013 11:48

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Ověření řešení Besselovy rovnice

Ahoj,

$\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}.{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu +z^{2}\}=\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}{z}^{2k+\nu }\{4k^{2}+4k\nu\}+\sum_{k=0}^{\infty }p_{k}{z}^{2k+\nu }z^2$

Teď to chce z jedné sumy vyhodit pryč první člen, posunout sumační index o jedna a dát sumy zase dohromady.

Jde o to, že chceš ukázat, že koeficient u každé mocniny z je nulový. Jenže v tom tvém tvaru máš pro jedno k v sumě dvě různé mocniny z. Máš tam „něco jako“

$(0-x)+(x-x^2)+(x^2-x^3)+\ldots$

Každá závorka je pro $x=\frac12$ nenulová, přitom součet je nulový.

Offline

 

#3 30. 06. 2013 13:22

xort
Zelenáč
Příspěvky: 9
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Ověření řešení Besselovy rovnice

↑ Pavel Brožek:

Mnohokráte Ti děkuji! Už jsem z toho začínal být zoufalý.. napadlo mne, že ty sumy musím rozdělit, ale nedošlo mi, že ten první člen je vlastně nulový.. Ještě jednou děkuji.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson