Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 12. 2013 17:28 — Editoval Marian (08. 12. 2013 13:27)

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2490
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

An inequality for terms of a recursively given sequence

Let $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ be a sequence of real numbers defined as follows: $a_1:=1$ and for every positive integer $n$ assume that the relation $a_{n+1}\cdot a_n=n$ holds true. Prove that

$$$
a_{n+1}+a_n<\frac{5}{2}\sqrt{n}\qquad\forall n\in\mathbb{N}.
$$$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marian)

#2 02. 12. 2013 00:58 — Editoval Brano (02. 12. 2013 13:48)

Brano
Příspěvky: 2539
Reputace:   219 
 

Re: An inequality for terms of a recursively given sequence

Nice one! Here is my solution.

Offline

 

#3 08. 12. 2013 13:34

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2490
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

Re: An inequality for terms of a recursively given sequence

↑ Brano:

Very nice!

My solution uses the exact solution of the difference equation $a_n\cdot a_{n+1}=n$, $a_1:=1$. Then after some manipulations it is possible to prove the required inequality in an elementary way.

Offline

 

#4 09. 12. 2013 12:06

Brano
Příspěvky: 2539
Reputace:   219 
 

Re: An inequality for terms of a recursively given sequence

↑ Marian:
actually I would like to see it, I you have time.

Offline

 

#5 13. 12. 2013 13:38

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2490
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   65 
 

Re: An inequality for terms of a recursively given sequence

↑ Brano:

Here are some hints to my solution...


Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson