Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 03. 2014 11:19

hauli
Příspěvky: 27
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

konvexita

Necht' A ma vlastnost, ze pro každé x, y $\in A$ také x/2 +y/n $\in A$. Je potom nutně A konvexní? Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

A je množina M=$\{(x,y) : xy>=1, x>=0 \}   $  konvexní?

Ahoj, mohla bych se zeptat, jak byste dokazovali tenhle příklad?

Děkuju moc :)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) hauli)

#2 10. 03. 2014 12:56

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

hauli napsal(a):

Necht' A ma vlastnost, ze pro každé x, y $\in A$ také x/2 +y/n $\in A$. Je potom nutně A konvexní? Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

Čo tu znamená n?

Offline

 

#3 10. 03. 2014 13:02

hauli
Příspěvky: 27
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: konvexita

↑ kompik:  Aha, pardon, to má být taky dvojka :( Tak nechť n=2 :D

Offline

 

#4 10. 03. 2014 13:07

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

hauli napsal(a):

A je množina M=$\{(x,y) : xy>=1, x>=0 \}   $  konvexní?

Ahoj, mohla bych se zeptat, jak byste dokazovali tenhle příklad?

Děkuju moc :)

$M=\{(x,y); y\ge f(x), x\ge0\}$, kde $f(x)=\frac1x$

Je to teda množina bodov nad grafom funkcie $x\mapsto1/x$. (V prvom kvadrante.)
Keď si nakreslíš obrázok, tak hneď vidíš, že je konvexná. Bolo by to treba ale aj nejako formálne zdôvodniť.

Ak je nejaká funkcia konvexná, tak množina bodov nad jej grafom (tzv. epigraf) je konvexná množina. (Možno ste sa to učili na prednáške. Ak nie, tak si to treba rozmyslieť.)

Stačí nám teda skontrolovať, či $f(x)=1/x$ je na kladných reálnych číslach konvexná.

Máme teda overiť:
$f(ax+(1-a)y)\ge af(x)+(1-a)f(y)$ pre $a\in(0,1)$, $x,y\ge 0$.

Skúsme jednoducho dosadiť a upravovať.
$\frac ax + \frac {1-a}y \ge \frac1{ax+(1-a)y}$ $\Leftrightarrow$
$[ax+(1-a)y]\cdot(ay+(1-a)x)\ge xy$ $\Leftrightarrow$
$(a^2 + (1-a)^2)xy + a(1-a)(x^2+y^2)\ge xy$ $\Leftrightarrow$
$(a^2-a)2xy - (a^2-a)(x^2+y^2)\ge0$ $\Leftrightarrow$
$(a-a^2)(x-y)^2\ge0$ $\Leftrightarrow$
$a(1-a)(x-y)^2\le0$

Ak vieme, že pre spojité funkcie to stačí dokazovať pre $a=1/2$, tak máme dokazovať o čosi jednoduchšiu nerovnosť: $\frac2{x+y} \le \frac12\left(\frac1x + \frac1y\right)$

Dokáže sa podobne ako predošlá. Môžeme si tiež uvedomiť, že
$\frac2{x+y} \le \frac12\left(\frac1x + \frac1y\right)$  $\Leftrightarrow$ $\frac{x+y}2 \ge \frac2{\frac1x+\frac1y}$
Posledná nerovnosť je známa nerovnosť medzi aritmetickým a harmonickým priemerom, napríklad tu: https://www.artofproblemsolving.com/Wik … Inequality

Offline

 

#5 10. 03. 2014 13:08 Příspěvek uživatele hauli byl skryt uživatelem hauli. Důvod: odesláno před přečtením reakce.

#6 10. 03. 2014 13:08 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:11)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

hauli napsal(a):

↑ kompik:  Aha, pardon, to má být taky dvojka :( Tak nechť n=2 :D

Nech $A=\mathbb Q$, t.j. pozrime sa na racionálne čísla ako podmnožinu reálnej osi. Spĺňa zadanú podmienku? Je konvexná?

Offline

 

#7 10. 03. 2014 13:16 — Editoval kompik (10. 03. 2014 13:17)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

K otázke o uzavretej množina by sa možno dalo pristupovať takto:

Chceme ukázať, že $x,y\in A$ $\Rightarrow$ $ax+(1-a)y\in A$ pre $a\in(0,1)$.

a) Vieme, že to platí pre $a=1/2$.
b) Vedeli by sme to potom dokázať pre všetky čísla tvaru $a=k/2^n$, ktoré sú v intervale (0,1)? (Napríklad indukciou na n.)
c) Vedeli by sme nejako použiť uzavretosť množiny A na to, aby sme to mali aj pre ostatné čísla?

Nejaké iné riešenie je tu: http://orion.math.uwaterloo.ca/~hwolkow … ass213.pdf
(Bol to prvý výsledok, keď som do Googlu dal "midpoint convex set" closed.)

Offline

 

#8 10. 03. 2014 13:18

hauli
Příspěvky: 27
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: konvexita

↑ kompik:

Děkuju moc za oba příklady, je to napsané skvěle srozumitelně :D
Přeju krásný den a ještě jednou děkuju :)

Offline

 

#9 10. 03. 2014 16:10

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: konvexita

↑ hauli:, ↑ kompik:

Změní se odpověď, pokud A je uzavřená?

Muselo by se specifikovat, ve kterém prostoru resp. při které topologii (metrice) je množina A uzavřená.
Například při diskretní metrice je každá podmnožina uzavřená atd.

Snad vhodnější varianta oné otázky by byla

Změní se odpověď, pokud A je uzavřenou podmnožinou úplného prostoru?

Offline

 

#10 10. 03. 2014 16:34

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

Rumburak napsal(a):

Muselo by se specifikovat, ve kterém prostoru resp. při které topologii (metrice) je množina A uzavřená.
Například při diskretní metrice je každá podmnožina uzavřená atd.

Rozumná poznámka, topológia naozaj nebola špecifikovaná.
Pretože v zadaní to nebolo nijako špecifikované, predpokladal som, že ide o $\mathbb R^n$ s obvyklou (euklidovskou) metrikou.
Ale zrejme by to malo bez zmeny prejsť v ľubovoľnom topologickom vektorovom priestore. Jediná vlastnosť, ktorú sme využili, bola tá, že ak $a_n \to a$, tak aj $a_nx+(1-a_n)y \to ax+(1-a)y$. Na to stačí spojitosť sčitovania a násobenia skalárom.

Offline

 

#11 10. 03. 2014 17:03

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: konvexita

↑ kompik:

Jasně, moje poznámka patřila spíše autorovi úlohy, aby ji příště zadal  přesněji. :-)
S tím topologickým vektorovým prostorem (nad $\mathbb R$) máš zřejmě pravdu, pokud by měl konečnou dimensi
(protože pak by byl úplný).
Ale v případě, že by konečnou dimensi neměl, pak bych váhal.  Zkusím případně zapřemýšlet .

Offline

 

#12 10. 03. 2014 17:49

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: konvexita

Rumburak napsal(a):

↑ kompik:

Jasně, moje poznámka patřila spíše autorovi úlohy, aby ji příště zadal  přesněji. :-)
S tím topologickým vektorovým prostorem (nad $\mathbb R$) máš zřejmě pravdu, pokud by měl konečnou dimensi
(protože pak by byl úplný).
Ale v případě, že by konečnou dimensi neměl, pak bych váhal.  Zkusím případně zapřemýšlet .

Priznám sa, že nevidím, prečo by to nemalo prejsť pre ľubovoľný topologický vektorový priestor.
Aby som to podoprel nejakou autoritou, tak je to napríklad ako cvičenie v Schechter: Handbook of Analysis and Its Foundations, p.701, 26.23. (V zadaní je explicitne napísané, že sme v topologickom vektorovom priestore a úloha je dokázať midpoint convex + closed => convex.
(Hľadal som v Google Books "midpoint convex set" closed.

Offline

 

#13 11. 03. 2014 09:12

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: konvexita

↑ kompik:

Díky za informaci.  Obecnými lineárními topoplogickými prostory jsem se nikdy nezabýval, pouze vím,
že při nekonečné dimensi bývá  leccos jinak než při konečné, tak jsem se klonil k opatrnosti.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson