Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 12. 2010 17:08 — Editoval Rumburak (21. 12. 2010 14:23)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8603
Reputace:   497 
 

Zajímavá limita

Abych také něčím přispěl:

Uvažujme  $m \,\in \,\{\,1,\,2, \,...\,\}$ a prostor ${\mathb {R}}^m$ se standardní eukleidovskou metrikou  $\rho$ a m-rozměrnou Lebesgueovou mírou $\mu$.
Mějme množinu  $K\,\subset \,{\mathb {R}}^m$  kompaktní v ${\mathb {R}}^m$, funkci $f\,:\,K\longrightarrow \mathb{R}$ spojitou v $K$ a bod $c\,\in\, K$  splňující

(1)     $f(c) \,=\,\min_{x\in K} f(x)$ ,

(2)     $\forall_{x\in K}\(x\ne c \, \Rightarrow \,f(x)>f(c)\)$ ,

(3)     $\forall_{r>0}\,\mu \(K \,\cap \,U_r(c)\) \,>\, 0$ ,    kde    $U_r(c) \,=\, \{\,x\in{\mathb {R}}^m\,;\, \rho(c,x)\,<\, r \,\}$ .

Určete (se zdůvodněním) limity

(*)     $L_j \,=\,\lim_{\lambda \to -\infty}\,\frac{\int_K\, x_j \,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}{\int_K\,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}$ ,    $j\in \{\,1,\,...,\,m\}$  ,

kde  $x_j$  je j-tá souřadnice bodu $x\in{\mathb {R}}^m$,  integrály jsou m-rozměrné Lebesgueovy, $\mathrm{d}x$  je zkratka pro $\mathrm{d}x_1 ...\mathrm{d}x_m$ .

Snazší verse úlohy:



EDIT: Dodatečně si uvědomuji, že předpoklad (1) je zbytečný (vyplývá z předpokladu (2)), ale už to tak nechám.

Offline

 

#2 10. 02. 2015 11:17

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1824
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Zajímavá limita

↑ Rumburak:

Ten zlomek za limitou mi vzdáleně připomíná střední hodnotu n-rozměrného náhodného vektoru, kde

$
\frac{\mathrm{e}^{\lambda f(x)}}{\int_K\,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}
$

je sdružená hustota pravděpodobnosti. Možná by bylo k řešení této úlohy použít aparát teorie pravděpodobnosti a statistiky.

Je to jen taková vágní úvaha - připomíná mi to vzdáleně mocninné průměry

$
\left(\frac{x_1^m+\dost x_n^m}{n}\right)^{\frac 1m}
$

(samozřejmě v diskrétním případě), kde jeden z limitních případů (pro $m\to-\infty$) vede na minimum z jednotlivých členů $x_1,\dots,x_n$, což je obdoba řešení v nápovědě.

Možná je vše úplně jinak a jde jen o zdání.


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#3 10. 02. 2015 11:33

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8603
Reputace:   497 
 

Re: Zajímavá limita

↑ Pavel:

Ahoj. 

Jsem rád, že ta úloha konečně někoho zaujala. :-)  Teorii pravděpodobnosti moc do hloubky neumím,  řešil jsem to
pomocí obecných prostředků analýzy.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson