Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 03. 2009 23:12

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Limita posloupnosti

Můžete někdo poradit, s tímto nehnu.

$lim(sqrt{2n^{2}-1}-sqrt{3n^{2}+n})$

Offline

 

#2 15. 03. 2009 23:25

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ bsft:

Zdravím :-)

Já nevím, kterým směrem se mám hnout - chybí totiž "kam směřuje n".

Ale obvykle pomiže rozšířit do výrazu (a-b)(a+b)

$\frac{(sqrt{2n^{2}-1}-sqrt{3n^{2}+n})(sqrt{2n^{2}-1}+sqrt{3n^{2}+n})}{(sqrt{2n^{2}-1}+sqrt{3n^{2}+n})}$

Ale chtelo by to upresnit zadani.

OK?

Offline

 

#3 15. 03. 2009 23:46 — Editoval bsft (15. 03. 2009 23:56)

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Učili nás, že když to není určeno kam limita směřuje, tak se jedná automaticky o limitu posloupnosti a té jde n do nekonečna. To jsem taky udělal, ale dál nevím. Tady to mám po úpravách:

$\frac{(-n^2-n-1)}{(sqrt{2n^{2}-1}+sqrt{3n^{2}+n})}$

Offline

 

#4 16. 03. 2009 00:24

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ bsft:

Teď se může vytknout n^2 a vysledkem by melo byt -oo.

Budu doufát, že někdo nakoukne rano a zkritizuje :-)

Offline

 

#5 20. 03. 2009 00:02

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Tak to mi vyšlo, takže díky za radu. Teď bych zas potřeboval vědět, zda uvažuji dobře v následujícím příkladu: Opět se jedná o limitu posloupnosti, čili n jde do +nekonečna

$lim\sqrt[n]{(2n^2+n)}$ . . . . . pod odmocninou si vytknu n a celý tvar přepíšu na

$lim(n^{\frac{1}{n}}*(2n+1)^{\frac{1}{n}})$ . . . . . teď se tedy bude blížit exponent obou členů k nule a cokoli na nultou je 1, takže by mi to vyšlo 1*1 a limita by byla rovna 1, je to správně? Díky.

Offline

 

#6 20. 03. 2009 10:44 — Editoval jelena (20. 03. 2009 15:07)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ bsft:

Zdravím :-)

Editace: v 15.00 jsem se podívala na své dílo a nějak nerozumím, proč jsem napsala toto:

"není to nejvhodnejsi úprava - vzníká "nekonecno na nultou" (2x dokonce) a to je výraz neurcitý."

Když pak používám v podstatě stejnou myšlenku (jasný důkaz, že před poledném psát nemám)

Navrhla jsem tuto úpravu (moznost 1) (kterou téměř navrhuje kolega):

$\sqrt[n]{(2n^2+n)}=\sqrt[n]{n(2n+1)}=\sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{(2n+1)}$

limita $\sqrt[n]{n}$ je 1, je potreba upravit odmocinu nad (2n+1) na $\sqrt[2n+1]{2n+1}$

$\frac{1\cdot(2n+1)}{n\cdot (2n+1)}=\frac{1}{2n+1}\cdot {\frac{2n+1}{n}=\frac{1}{2n+1}\cdot {(2+\frac{1}{n})$

budeme hledat limitu>

$\sqrt[n]{n}\cdot (\sqrt[2n+1]{(2n+1)})^{(2+\frac{1}{n})}$

vysledkem by melo byt po dosazeni vyrobeneho vyrazu do zadani limity 1 * 1 * 1^2 = 1

Jina cesta - myslím, že je schůdná:

$\sqrt[n]{(2n^2+n)}=e^{\ln \sqrt[n]{(2n^2+n)}=e^{\frac{\ln (2n^2+n)}{n}}$

to znamená, ze budu hledat pouze limitu $\frac{\ln (2n^2+n)}{n}$, hodnota teto limity se pouzije jako mocnina pro e.

Zduvodnila bych, ze limita posloupnosti má stejnou limitu jako funkce

$f(x)=\frac{\ln (2x^2+x)}{x}$ a pouziji l'Hospitala

-----------
Prubezne jsem nekam dosla, nikdo jiny nic nenapsal...

Vim, ze na svou hlavu privolam spravedlivé pokárání odborníku. Ale v tuto hodinu je mi to celkem jedno. Editace - pohledu na své dílo v 15.00 editovala jsem poznámku k možnosti 1

Odbornou verejnost srdecne zdravím :-)

Offline

 

#7 21. 03. 2009 15:13

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Díky moc! Ty neurčité výrazy mi dávají :)

Další problém. Mám

$lim(n^2+cos(n-3))$ . . . cos bude v intervalu (-1,1) a n na druhou jde do nekonecna, takze vysledkem by bylo nekonecno. Je to tak?

Offline

 

#8 21. 03. 2009 17:00

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ bsft:
Áno, teda riešiš odhadom.
$a_n=n^2-1\nlb_n=n^2+\cos(n-3)\nla_n\leq b_n$
Limita postupnosti a_n je nekonečno, preto aj postupnosť b_n má limitu nekonečno.


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#9 21. 03. 2009 18:21

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Díky!

Nový problém.

$lim(\frac{7n+3}{7n+2})^n$ . . . když vytknu "n" tak po zjednodušení mi zůstane $1^n$ což by byla limita = 1, ale k jedničce se to neblíží jak jsem si to vyzkoušel, pak mě ještě napadlo, jakse na to podívám, tak čitatel je větší, jak jmenovatel, takže zlomek bude vždy větší jak 1 a cokoli větší jak jedna na N-tou je stále větší, takže by to šlo do nekonečna, ale nevím jestli to tak můžu dokázat

Offline

 

#10 21. 03. 2009 18:25

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Upravit na pozoruhodnou limitu.

${\lim}\limits_{n \to +\infty}\Bigg(\Big(1+\frac{1}{7n+2}\Big)^{7n+2}\Bigg)^{\frac{n}{7n+2}}=e^{{\lim}\limits_{n \to +\infty}\frac{n}{7n+2}}...$


oo^0 = 1

Offline

 

#11 21. 03. 2009 20:02

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Ok, akorát mi nejde do hlavy, když za "n" postupně dosadím, tak n roste a to nad jedničkou. Jak je to možné.

pro $n=5$ je výsledkem zaokrouhleně 1,142639
pro$ n=10$ je výsledkem zaokrouhleně 1,147898
pro$ n=10000$ je výsledkem zaokrouhleně 1,153559

Offline

 

#12 21. 03. 2009 20:22

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Jasně, ale 10000 je taky "hodně malé číslo" vzhledem k nekonečnu. Zkrátka si představ, že n může mít třeba milion nul, pak se to k tomu e na cosi prostě blíží. Navíc tadypatrně vyjde $e^{\frac17}$ což je vlastně sedmá odmocnina z e.


oo^0 = 1

Offline

 

#13 21. 03. 2009 21:12

lukaszh
Místo: Bratislava
Příspěvky: 2314
Reputace:   37 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ ttopi:
To si predstav, že aj to s biliónom núl je ďaleko :-) Predstav si číslo, ktoré má toľkoto núl
$(n^n)^{n!^{n!\cdot1000^n}}\cdot\underbrace{n!^{{n!}^{n!}}\cdot\cdots\cdot n!^{{n!}^{n!}}}_{n!\;\rm{clenov}}\,;\;n=1\,000\,000\,000\,000\,000$
Bohužiaľ aj toto je stráááááááááááááááááášne ďaleko :D :X


"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel

Offline

 

#14 21. 03. 2009 21:18

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

↑ lukaszh:

Jasně, chtěl jsem jen naznačit :D


oo^0 = 1

Offline

 

#15 22. 03. 2009 15:38 — Editoval jelena (22. 03. 2009 16:25)

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ lukaszh:, ↑ ttopi:

Zdravím vás :-)

to vysvětlení na závěr není moc přesvědčivé (hooooooodně nul - to je nějaký důkaz?).

↑ ttopi: zde správně naznačuje, že hodnota limity je "7. odmocnina z e". Ale prakticky se to dá představit takto:

funkce $y=1+\frac{1}{7x+2}$ je hyperbola s asymptotou y=1. Na oboru přirozených čísel k teto asymptotě "klesá" a je konvexní, to znamená, že rychlost klésání se zpomaluje a zpomaluje. Hodnota funkce je pořád větší než jedná.

Tuto hodnotu budeme umocňovat na přirozenou mocninu, bude to funkce rostoucí, ale konkávní - tedy rychlost růstu se zpomaluje a zpomaluje a ke své limite dojde "zdola". Je to tak?

------
Editace: opravila jsem "spomaluje" na "zpomaluje" - neboť změna stavu :-)

Offline

 

#16 22. 03. 2009 15:44

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

↑ jelena:
Ahoj :-)

My se ale nepokoušeli o matematický důkaz. Dotyčný říká, že se mu to nezdá, ale z mého výpočtu, který je správně je to vidět, tak proč to dokazovat? To s těma nulama bylo jen obrazně řečeno, spíše pro představu :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#17 22. 03. 2009 15:57

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

↑ ttopi:

Já bych ani takové slovo nevyslovila "matematický důkaz", ale jen "důkaz" - jen se mi nezdalo strašit hromadou nul.

Kolega sice v jiném tématu říka, že graf nelze používat, ale zde je jen prostředek pro vysvětlení, když jsou pochyby.

Ты согласен, милый друг Ттопи, или нет?

Offline

 

#18 22. 03. 2009 16:18

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

да! я согласен eлена :-) пока! :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#19 24. 03. 2009 16:05 — Editoval bsft (29. 03. 2009 12:37)

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

1) To strašení s hromadami nul nevadí, někdy to je i náhodou užitečné pro představivost.

2) Kdo si to chce vyzkoušet nebo opravit, tak výsledkem bude $\sqrt[3]{e}$

Offline

 

#20 24. 03. 2009 21:09

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29850
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Limita posloupnosti

bsft napsal(a):

2) Už jsem přišel na to, proč mi testování nevycházelo...úpravy které, ttopi prováděl nejsou to povolené, protože se jedná o nějaké částečné limitování, jak mi bylo řečeno. Kdo si to chce vyzkoušet nebo opravit, tak výsledkem bude

Zdravím :-)

máš na myslí toto zadání:

$lim(\frac{7n+3}{7n+2})^n$ 

Zde výsledkem bude $\sqrt[7]{e}$

Co se nezdá na úpravách od kolegy ttopi?

Děkuji :-)

Offline

 

#21 25. 03. 2009 08:27

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

↑ jelena:
привет елена! Taky tomu moc nerozumím, ale mám to určitě správně :-) пока!

↑ bsft:
Ty pozdravuj vyučujícího a vyřiď mu, že by měl vrátit diplom. :-)


oo^0 = 1

Offline

 

#22 29. 03. 2009 12:36

bsft
Příspěvky: 84
Reputace:   
 

Re: Limita posloupnosti

Já bych mu to řekl, ale spletl jsem se protože jsem s ním řešil podobný příklad kde místo "7n" byly "3n", takže to byla moje chyba co jsem tu napsal. Jinak vám díky, jinak by můj test byl za 0 bodů.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson