Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 05. 2015 17:04 — Editoval Andrejka3 (13. 05. 2015 18:36)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

Ahoj.
Ve způsobu hledání všech celých algebraických čísel v kvadratickém tělese ze skript jsem narazila na následující problém.

Mějme kvadratické těleso $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a $\alpha\in \mathbb{Q}(\sqrt{m})\setminus\mathbb{Q}$. Nechť $p\in \mathbb{Q}[x]$ je minimální polynom $\alpha$ (stupně 2) s jednotkovým koeficientem u nejvyšší mocniny.
Je pravda, že pokud $\alpha$ je kořenem $f\in \mathbb{Z}[x]$ a koeficient  $f$ u nejvyšší mocniny je 1, pak $p\in\mathbb{Z}[x]$ ?

Z polynomů si toho moc nepamatuju a mé pokusy to dokázat/vyvrátit nikam nevedly. Prosím o radu.

------
edit: jinak řečeno, musí mít normovaný/monický minimální polynom celého algebraického čísla celočíselné koeficienty?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

#2 13. 05. 2015 20:02

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ Andrejka3:
Ahoj, a není to právě to co odlišuje prvky $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a celé algebraické číslo?
Co např. číslo $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a "jeho" polynom $x^2-\frac{1}{2}$. Monický polynom je daným číslem dle mého jednozančně určen, takže když má neceločíselné koeficienty, tak nemůže existovat jiný, celočíselný (a monický).


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#3 13. 05. 2015 20:39 — Editoval Andrejka3 (13. 05. 2015 20:39)

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

není to právě to co odlišuje prvky $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ a celé algebraické číslo?

Tak $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ a minimální polynom je $x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$, takže $\sqrt{2}$ je celé algebraické.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ a "jeho" polynom $x^2-\frac{1}{2}$. Monický polynom je daným číslem dle mého jednozančně určen, takže když má neceločíselné koeficienty, tak nemůže existovat jiný, celočíselný (a monický).

Takže ať násobím $x^2-\frac{1}{2}$ jakýmkoliv polynomem z $\mathbb{Q}[x]$ s jedničkou u nejvyšší mocniny (to je doufám totéž co být monický), tak nemůžu dostat polynom s celočíselnými koeficienty? Proč ne?

Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#4 13. 05. 2015 21:24

vanok
Příspěvky: 13414
Reputace:   724 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

Ahoj ↑ Andrejka3:,
Co si pamatam
Cely minimalny polynom je v $\mathbb{Z}[x]$
Priklad
$x^2-2\in\mathbb{Z}[x]$
Take polynomy tvoria jeden okruh.
Minimalny polynom je v
$\mathbb{Q}[x]$
Priklad
$x^2-2\in\mathbb{Q}[x]$.
Take polynomy tvoria teleso.

O zvysku tvojej otazky porozmyslam.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 13. 05. 2015 21:41

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ Andrejka3:
Aha, on ten monický v definici celého čísla nemusí být ireducibilní... (?) Zamyslím se nad tím posledním bodem.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#6 13. 05. 2015 21:57

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ check_drummer:
Tak tak. V definici zmínku o ireducibilitě nemám.

↑ vanok:
Díky, ano. Celá alg čísla tvoří okruh a Alg čísla těleso. Jestli je to ekvivalentní tomu, co jsi psal...(což teď hned nenahlédnu)


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#7 14. 05. 2015 00:09

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ Andrejka3:
Mělo by to být ekvivalentní, viz deinice na wiki.
Ale dokázat to by bylo jistě zajímavé.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#8 14. 05. 2015 01:05 — Editoval check_drummer (14. 05. 2015 01:08)

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ Andrejka3:
Podle Gaussova lemmatu, je-li polynom p z Q[x] reducibilní v Q[x], pak je reducibilní i v Z[x]. Pokud je tedy p monický polynom (ze Z[x]) příslušný číslu $\alpha$ a je reducibilní v Q[x], pak je reducibilní i v Z[x] a tedy je p=q.r - a snadno lze ukázat, že q,r jsou opět monické a že $\alpha$ je kořenem jednoho z nich (búno nechť je to q). Na q aplikujeme stejný postup až získáme monický ireducibilní polynom s koeficienty v Z[x] - a monický ireducibilní polynom je určen jednoznačně (k $\alpha$) - a tedy $\alpha$ nemůže být kořenem monického ireducibilního polynomu z $\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$.

To ovšem neodpovídá na otázku

Andrejka3 napsal(a):

Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?

ale odpovídá to na otázku ve Tvém prvním příspěvku.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#9 14. 05. 2015 01:16

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

Ještě upozorním, že $\alpha$ celý algebraický samozřejmě může být kořenem monického polynomu z $\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$. Např. $\sqrt{2}$ je kořenem $(x^2-2).(x-\frac13)$. Ovšem takový polynom bude nutně reducibilní.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#10 14. 05. 2015 01:25

check_drummer
Příspěvky: 2689
Reputace:   73 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

Andrejka3 napsal(a):

Takže i obecně, když $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$ a mají jedničku u nejvyšší mocniny, tak $p\cdot q\notin \mathbb{Z}[x]$ ?

To bude plynout opět z Gaussova lemmatu: Postupujme sporem a rozložíme u(=p.q) ze Z[x] na součin ireducibilních monických polynomů $u_i$ ze Z[x], které jsou tedy ireducibilní i v Q[x] - a proto budou p,q rovny součinům některých $u_i$ - což je spor s $p,q\in\mathbb{Q}[x]\setminus\mathbb{Z}[x]$.

Tento postup však předpokládá, že faktorizace monických polynomů (na ireducibilní polynomy) je v Z[x] jednoznačná, což si teď nejsem jist, zda platí.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#11 14. 05. 2015 09:57

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1994
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ check_drummer:
Díky! To mi úplně stačí.


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

 

#12 14. 05. 2015 10:32 — Editoval vanok (14. 05. 2015 10:34)

vanok
Příspěvky: 13414
Reputace:   724 
 

Re: Celé algebraické číslo kvadratického tělesa

↑ Andrejka3:
Este doplnujuca poznamka,(kvadraticke rozsirenia =extensions quadratiques)
V $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ cele  algebricke cislo je formy $x=a+b \sqrt m$  ak $m =  0,2,3 (mod 4)$
A ak $m= 1( mod 4), x=a+b. \frac {1+\sqrt m} 2$  je algebricke celé cislo.
Napr.$ \frac {1+\sqrt 5}2$ je cele  algebricke v $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$
Je jeden koren jeho mnimalneho polynomu  je $ x^2-x-1=0$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson