Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 10. 2015 22:05

janusz
Příspěvky: 79
Reputace:   
 

Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

Dobrý den,

mám dotaz ohledně následujícího příkladu.:

Pomocí transfrmace nezávisle proměných $u = xy; v=\frac{x}{y}$  najděte všechny fce dvou proměnných, splňujcí rovnici:
$x^{2}Z_{xx}+y^{2}Z_{yy} - 2xyZ_{xy} + xZ_{x} + yZ_{y} = 0$

Po všech derivacích, dosazení, úpravách atd mi z toho vypadlo

$Z_{vv}+\frac{1}{2v}Z_{v} = 0$

no a tady začíná problém, v postupu je jako výsledek téhle rovnice uvedeno $Z_{v}{(u,v)}=\frac{f_{(u)}}{\sqrt{v}}$ kde f je libovolná dif. fce jedné proměnné.

tento krok mi není jasný, může mi někdo poradit mezikrok mezi předposledním a posledním výsledkem?

Díky moc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) janusz)

#2 06. 10. 2015 23:25

Jj
Příspěvky: 7511
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   535 
 

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

↑ janusz:

Zdravím.

Řekl bych, že

$Z_{vv}+\frac{1}{2v}Z_{v} = 0\Rightarrow \frac{Z_{vv}}{Z_{v}}=-\frac{1}{2v}$

Teď integrace $\int \frac{Z_{vv}}{Z_{v}}\,dv=-\frac{1}{2}\int \frac{1}{v}\,dv$

$\ln |Z_{v}|=-\frac{1}{2}\ln |v|=\ln \frac{1}{\sqrt{v}}+f(u)$,

kde f(u) je uvedená libovolná funkce poměnné U. Ta tu vlastně hraje roli 'integrační konstanty' (nejen derivace konstanty, ale i derivace uvedené libovolné funkce proměnné u podle v je rovna 0. Tudíž přičtení jen libovolné konstanty by bylo nedostačující).

$\Rightarrow Z_v=\frac{e^{f(u)}}{\sqrt{v}}=\frac{f_1(u)}{\sqrt{v}}$, což souhlasí s výsledkem.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 09. 10. 2015 23:19

janusz
Příspěvky: 79
Reputace:   
 

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

dobrý den,

díky za odpověď, bohužel mi to stále není úplně jasné. Např. nechápu mechanismus integrování levé strany, tzn.
$\int_{}^{}\frac{Z_{vv}}{Z_{v}}dv = \ln |Z_{v}|$ a další kroky mi také nejsou moc jasné, mohl bych poprosit o trochu detailnější popis?

děkuji mnohokrát

Offline

 

#4 10. 10. 2015 00:19

Xellos
Příspěvky: 523
Škola: MFF CUNI, Bc. (13-16)
Reputace:   36 
 

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

↑ janusz:
Substitucna metoda. Nazorne

$Z_{vv}=\frac{\mathrm{d} Z_v}{\mathrm{d} v}$
$\int \frac{Z_{vv}}{Z_v}\mathrm{d}v=\int \frac{1}{Z_v}\frac{\mathrm{d} Z_v}{\mathrm{d} v}\mathrm{d}v=\int \frac{1}{Z_v}\mathrm{d} Z_v=\ln|Z_v|$
(v poslednom integrale mozes rovnako dobre namiesto $Z_v$ pisat $x$)

Offline

 

#5 10. 10. 2015 11:42

Jj
Příspěvky: 7511
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   535 
 

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

↑ janusz:

Jak píše kolega ↑ Xellos:, nebo si uvědomit, že v čitateli integrandu je derivace jeho jmenovatele --> integrálem bude logaritmus absolutní hodnoty jmenovatele.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#6 11. 10. 2015 22:31

janusz
Příspěvky: 79
Reputace:   
 

Re: Rovnice s Derivacemi fce více proměnných

ok, už je mi to jasný, děkuji oběma.

H.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson